Considere a seguinte sequência com n natural positivo(2, 20, 56, 110, 182, ...)a) Determine uma lei.... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 166 Report

Considere a seguinte sequência $\mathsf{(a_{n}),}$ com n natural positivo

(2, 20, 56, 110, 182, ...)

a) Determine uma lei de formação para esta sequência.

b) Obtenha uma fórmula fechada para o produto dos n primeiros termos desta sequência:

$\mathsf{P_{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots\cdot a_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{a_{k}}}$

(Sugestão: escreva o termo geral em sua forma fatorada, e utilize a definição de fatorial).

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superaks

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Olá Lukyo.

Produtos notáveis usados:

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{a^2-b^2=(a\pm b)\cdot(a \mp b)}}}\\\\\\\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2\mp 2ab + b^2}}}$

A - Determine a lei de formação para sequência (2, 20, 56, 110, 182, ...).

Reescrevendo a sequência como:

(2, (2 + 18), (2 + 18 + 36), (2 + 18 + 36 + 54), (2 + 18 + 36 + 54 + 72), ...)

ou

(2, (2 + 18), (2 + 18 + 18.2), (2 + 18 + 18.2 + 18.3), (2 + 18 + 18.2 + 18.3, ...)

Perceba que além da sequência ser dada pela soma dos termos anteriores, é adicionado um múltiplo de 18.

Achando seu termo geral:

$\mathsf{a_1=2}\\\mathsf{a_2=a_1+18\cdot1}\\\mathsf{a_3=a_2+18\cdot2}\\\mathsf{a_4=a_3+18\cdot3}\\...\\\mathsf{a_{n-1}=a_{n-2}+18\cdot(n-2)}\\\mathsf{a_n=a_{n-1}+18\cdot(n-1)}$

Somando tudo:

$\begin{cases}\mathsf{\diagdown\!\!\!\!a_1=2}\\\mathsf{\diagdown\!\!\!\!a_2=\diagdown\!\!\!\!a_1+18\cdot1}\\\mathsf{\diagdown\!\!\!\!a_3=\diagdown\!\!\!\!a_2+18\cdot2}\\\mathsf{\diagdown\!\!\!\!a_4=\diagdown\!\!\!\!a_3+18\cdot3}\\...\\\mathsf{\diagdown\!\!\!a_{n-1}=a_{n-2}+18\cdot(n-2)}\\\mathsf{a_n=\diagdown\!\!\!\!a_{n-1}+18\cdot(n-1)}\end{cases}\\\\\\\mathsf{a_n=2+18\cdot1+18\cdot2+18\cdot3+...+18\cdot(n-1)}\\\\\mathsf{a_n=2+18\cdot[1+2+3+...+(n-1)]}$

Acima obtemos a soma de uma P.A, que é dada pela equação:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$

Ou seja, a soma de uma P.A é dada pela soma que se repete $\mathsf{(a_1+a_n)}$ , vezes a quantidade de termos n dividido por 2.

Para saber a quantidade de termos basta fazer a diferença entre o último e o primeiro e adicionar 1 unidade.

$\mathsf{(n-1)-\diagup\!\!\!1+\diagup\!\!\!1=n-1}$

Substituindo na fórmula:

$\mathsf{a_n=2+\diagdown\!\!\!\!18\cdot\Big[\dfrac{(n-1)\cdot n}{\diagdown\!\!\!\!2}\Big]}\\\\\mathsf{a_n=2+9\cdot(n^2-n)}\\\\\mathsf{a_n=2+9n^2-9n}\\\\\mathsf{a_n=9n^2-9n+2\qquad\gets~Re-organizando}$

Some e subtraia (3/2)².

$\mathsf{a_n=(3n)^2-2\cdot3n\cdot \dfrac{3}{2}+\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2+2}\\\\\mathsf{a_n=\Big(3n-\dfrac{3}{2}\Big)^2-\dfrac{9}{4}+\dfrac{8}{4}}\\\\\mathsf{a_n=\Big(3n-\dfrac{3}{2}\Big)^2-\dfrac{1}{4}}\\\\\mathsf{a_n=\Big(3n-\dfrac{3}{2}\Big)^2-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2}\\\\\mathsf{a_n=\Big(3n-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\Big)\cdot(3n-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\Big)}\\\\\mathsf{a_n=\Big(3n-\dfrac{4}{2}\Big)\cdot\Big(3n-\dfrac{2}{2}\Big)}$

$\boxed{\mathsf{a_n=(3n-2)\cdot(3n-1)}}\checkma~\checkmark$

B - Obtenha a fórmula fechada para o produto dos n primeiros termos desta sequência:

$\mathsf{P_{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot\ldots\cdot a_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{a_{k}}}\\\\\\\mathsf{P_n=(3\cdot1-2)\cdot(3\cdot1-1)\cdot(3\cdot2-2)\cdot(3\cdot2-1)\!\cdot...\!\cdot(3n-2)\!\cdot(3n-1)}$

Note que pela fórmula fechada dessa sequência, ela retornará sempre em valores que não são múltiplos de 3. Multiplicando e dividindo por todos os múltiplos de 3 de 1 a n, obtémos:

$\mathsf{P_n=(3-1)\cdot(3-2)\cdot...(3n-1)\cdot(3n-2)\cdot\dfrac{(3\cdot1\cdot3\cdot2\cdot...\cdot3n)}{(3\cdot1\cdot3\cdot2\cdot...\cdot3n)}}$

Com isso teremos o produto de todos múltiplos e os não múltiplos de 3 no numerador, ou seja, uma multiplicação de 1 a n. Podemos expressar isso usando fatorial.

$\mathsf{p_n=\dfrac{(3-2)\cdot(3-1)\cdot3\cdot...\cdot(3n)}{\underbrace{\mathsf{3\cdot 3\cdot...\cdot3\cdot3}}_{n~vezes}~\cdot1\cdot2\cdot...\cdot n}}\\\\\\\boxed{\mathsf{p_n=\dfrac{(3n)!}{3^n\cdot n!}}}~\checkmark$

Como no denominador multiplicamos pelos múltiplos de 3, significa que ele aparecerá n vezes, portanto $\mathsf{3^n}$ .

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