Considere uma funçãof: D ⊂ N² → Nna qual para cada par (x, y) ∈ D, f(x, y) fornece o valor do resto .... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 254 Report

Considere uma função

f: D ⊂ N² → N

na qual para cada par (x, y) ∈ D, f(x, y) fornece o valor do resto da divisão de x por y.

a) Qual o maior domínio D possível para esta função?

b) Escreva uma lei de formação para f.

f(x, y) = ____________

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superaks

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Olá Lukyo

Considere uma função

f: D ⊂ N² → N

na qual para cada par (x, y) ∈ D, f(x, y) fornece o valor do resto da divisão de x por y.

_________________________

Começando pela alternativa b

b - Escreva uma lei de formação para f

Em uma divisão de números naturais, sabemos que em alguns casos obtemos números decimais, por exemplo

11/3 = 3,666...

Onde a parte inteira é o quociente, nesse caso o 3

Sabendo também que podemos representar uma divisão algebricamente com a seguinte expressão

$\mathsf{a = qd + r}$

a = Dividendo
q = Quociente
d = Divisor
r = Resto

Isolando o r ob´temos

$\mathsf{r = a - qd}$

Porém, como r é inteiro e vimos anteriormente que o quociente pode vir acompanhado de uma parte decimal, precisaria da ajuda de uma função para podermos vencer esse problema, por exemplo a função piso

A função piso que tem a seguinte notação, $\mathsf{\left\lfloor x\right\rfloor}$ onde x é um número real, nos retorna sempre a parte inteira

Como sabemos, o quociente é dado pela parte inteira de uma divisão, ou seja

$\mathsf{q=\left\lfloor \dfrac{a}{d}\right\rfloor}$

Substituindo na nossa expressão, temos

$\mathsf{r=a-\left\lfloor\dfrac{a}{d}\right\rfloor\cdot d}$

Como temos r em função de a e de d, tomaremos r = f(a, d)

Tomando a = x e d = y, para deixar no formato pedido pelo enunciado

$\boxed{\mathsf{f(x,y)=x-\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor\cdot y}}$

a - Qual o maior domínio D para esta função?

Em uma divisão o divisor jamais poderá ser igual a 0.

Portanto o domínio D será

$\mathsf{D=\{(x,y)\in ~\mathbb{N}~x~\mathbb{N}~:~y\neq0\}}$

Dúvidas? comente.

4 votes Thanks 3

Lukyo Excelente! Muito obrigado. =)

superaks :D

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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