Cálculo integral: Funções trigonométricas.
Calcule a integral indefinida:
∫ cos(x)/cos(2x) dx
Calcule a integral indefinida:
∫ cos(x)/cos(2x) dx
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Bom dia, Lukyo.Lembremos que:
cos(2x) = 1 - 2·sen²(x)
Assim a integral fica:
∫ cos(x) / (1 - 2·sen²x) dx
Se fizermos a substituição u = sen x, vem:
du = (cos x) dx
E a integral fica:
∫ du / (1 - 2u²)
∫ du / [(1 + √2u)(1 - √2u)]
Agora podemos separar em frações parciais:
1 / [(1 + √2u)(1 - √2u)] = A / (1 + √2u) + B / (1 - √2u)
1 / [(1 + √2u)(1 - √2u)] = [A(1 - √2u) + B(1 + √2u)]/[(1 + √2u)(1 - √2u)]
Igualamos os numeradores:
1 = A(1 - √2u) + B(1 + √2u)
Se fizermos u = 1/√2, teremos o mesmo valor nos dois membros.
1 = A(1 - 1) + B(1 + 1)
2B = 1
B = 1/2
Se fizermos u = -1/√2, também teremos uma identidade:
1 = 2A
A = 1/2
Então:
1/(1 - 2u²) = (1/2) / (1 + √2u) + (1/2) / (1 - √2u)
Então a integral pode ser separada como segue, já que sabemos que funções da forma 1 / (ax + b) são integráveis.
∫ du / (1 - 2u²) = ½∫du / (1 + √2u) + ½∫ du / (1 - √2u)
Fazendo a substituição v = 1 + √2u na primeira integral e w = 1 - √2u na segunda, temos que:
dv = √2du
dw = - √2du
∫ du / (1 + √2u) = (1/√2)∫ dv / v =(1/√2)ln|v| + C' =(1/√2)ln|1 + √2u| + C'
∫ du / (1 - √2u) = -(1/√2)∫dw / w = -(1/√2)ln|w| + C'' = -(1/√2)ln|1 - √2u| + C''
A integral fica:
∫ du / (1 - 2u²) = ½ [ (1/√2)ln|1 + √2u| - (1/√2)ln|1 - √2u| + C' + C'']
∫ du / (1 - 2u²) = 1/(2√2)[ln|(1 + √2u)/(1 - √2u)|] + C
Voltamos com u = sen x
∫ cos(x) / cos(2x) dx = (1/2√2) ln|(1 + √2sen x) / (1 - √2sen x)|+ C
Onde C = (C' + C'')/2 é uma constante de integração arbitrária.