Daniel e Thiago são amigos e gostam muito de Matemática. Daniel propôs um desafio a Thiago. Eles criaram uma espécie de jogo que funciona da seguinte forma:
Daniel pensa em dois números inteiros. Depois, ele diz a Thiago quanto valem a soma e o produto dos dois números que ele pensou. Em seguida, Daniel desafia Thiago para que ele dê o valor da soma das quintas potências dos dois números que Daniel pensou.
a) Se a soma e o produto ditos por Daniel forem respectivamente iguais a 15 e 54, que número Thiago deve responder para que cumpra corretamente o desafio proposto por Daniel?
b) Se a soma e o produto ditos por Daniel forem respectivamente e escreva, em função de e a expressão algébrica que fornece o número que Thiago deve responder para cumprir o desafio proposto (simplifique ao máximo a expressão encontrada).
A) Sendo a e b os números pensados : a+b = 15 ; a.b = 54
Números : a = 9 , b = 6
Comprovação :
9+6 = 15 e 9.6 = 54 . (Verdade)
Soma das quintas potencias :
a⁵+b⁵ = 9⁵+6⁵ = 66825
b) No item a , dado a soma e o produto dos números como números inteiros era simples e racional calcular os numeros pensados por Daniel . Já nesse caso , temos p e q como soma e produto dos numeros pensados e não é interessante calculá-los , mas sim escrever o que Thiago propõe em função de p e q .
Vamos lá :
Thiago deseja saber : a⁵+b⁵ sendo a e b os números em que daniel pensou . Fatorando tal expressão temos :
Lista de comentários
Verified answer
Verified answer
A) Sendo a e b os números pensados : a+b = 15 ; a.b = 54Números : a = 9 , b = 6
Comprovação :
9+6 = 15 e 9.6 = 54 . (Verdade)
Soma das quintas potencias :
a⁵+b⁵ = 9⁵+6⁵ = 66825
b) No item a , dado a soma e o produto dos números como números inteiros era simples e racional calcular os numeros pensados por Daniel . Já nesse caso , temos p e q como soma e produto dos numeros pensados e não é interessante calculá-los , mas sim escrever o que Thiago propõe em função de p e q .
Vamos lá :
Thiago deseja saber : a⁵+b⁵ sendo a e b os números em que daniel pensou . Fatorando tal expressão temos :
Obs.: sabemos que a+b = p , e a.b = q .
a⁵+b⁵ = (a+b).(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)
a⁵+b⁵ = p.(a⁴- a².(ab) + (ab)² - b².(ab) +b⁴)
a⁵+b⁵ = p.(a⁴ - (a²+b²).q + q² +b⁴)
a⁵+b⁵ = p.(q² - (a²+b²)q + a⁴+b⁴) (Eq.1)
Só que :
a²+b² = (a+b)² - 2ab = p² - 2q
E , ainda :
a⁴+b⁴ = (a²+b²)² - 2a²b² = (p²-2q)² - 2q² = p⁴-4p²q+4q² - 2q² = p⁴-4p²q+2q²
Voltando a Eq.1 :
a⁵+b⁵ = p.(q² - (a²+b²)q + a⁴+b⁴)
a⁵+b⁵ = p.(q² - (p²-2q)q + p⁴-4p²q+2q²)
a⁵+b⁵ = p.(q² - p²q + 2q² + p⁴ - 4p²q + 2q²)
a⁵+b⁵ = p.(5q² - 5p².q + p⁴)