Para provarmos que a função é bijetiva, vamos provar, separadamente, que ela é injetiva e sobrejetiva. Provando que ela é:
→ Injetiva:
Uma função é dita injetiva se, para quaisquer dois elementos e do domínio, vale a relação:
Isto é, elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes. Então, vamos supor por absurdo que existem elementos tais que . Vamos supor também, sem perda de generalidade, que :
Então ou :
- Se :
- Se :
Mas: . Então:
O que demonstra que a função é injetiva.
→ Sobrejetiva:
Sabe-se que a função exponencial é contínua. Como a lei de formação de é uma combinação linear de duas exponenciais, também é contínua. Agora, vamos analisar os valores da função nas bordas do intervalo do domínio:
- Limite à esquerda:
- Limite à direita:
Vamos provar agora que a função é estritamente crescente para . Tomemos . Suponha, por absurdo que possamos ter . Desenvolvendo a desigualdade:
Como e são não negativos e , temos que . Assim, podemos dividir os dois lados da desigualdade por esse fator sem alterar o sinal, obtendo:
Portanto, a função é estritamente crescente. Desse modo, a função assume todos os valores que estejam entre seus limites laterais, o que conclui que a função é sobrejetiva no intervalo dado.
Já que a função é bijetiva, ela possui uma inversa. Vamos tentar encontrá-la. Faremos isso “trocando” e de posição em :
Considere uma nova variável a fim de facilitar a visualização do que está ocorrendo:
Então, temos que . Note que a função é crescente para o sinal positivo e decrescente para o sinal negativo (basta analisarmos o sinal da derivada). Para descobrimos sinal correto, portanto, analisaremos o crescimento da função inversa. Seja . Considere também que e , com . Como é estritamente crescente, temos que . Então:
Então, temos para , isto é, a função inversa cresce conforme cresce a coordenada na qual ela é aplicada, o que mostra que a inversa de também é estritamente crescente. Logo, a única opção para a inversa é:
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Para provarmos que a função é bijetiva, vamos provar, separadamente, que ela é injetiva e sobrejetiva. Provando que ela é:
→ Injetiva:
Uma função é dita injetiva se, para quaisquer dois elementos e do domínio, vale a relação:
Isto é, elementos diferentes do domínio possuem imagens diferentes. Então, vamos supor por absurdo que existem elementos tais que . Vamos supor também, sem perda de generalidade, que :
Então ou :
- Se :
- Se :
Mas: . Então:
O que demonstra que a função é injetiva.
→ Sobrejetiva:
Sabe-se que a função exponencial é contínua. Como a lei de formação de é uma combinação linear de duas exponenciais, também é contínua. Agora, vamos analisar os valores da função nas bordas do intervalo do domínio:
- Limite à esquerda:
- Limite à direita:
Vamos provar agora que a função é estritamente crescente para . Tomemos . Suponha, por absurdo que possamos ter . Desenvolvendo a desigualdade:
Como e são não negativos e , temos que . Assim, podemos dividir os dois lados da desigualdade por esse fator sem alterar o sinal, obtendo:
Portanto, a função é estritamente crescente. Desse modo, a função assume todos os valores que estejam entre seus limites laterais, o que conclui que a função é sobrejetiva no intervalo dado.
Já que a função é bijetiva, ela possui uma inversa. Vamos tentar encontrá-la. Faremos isso “trocando” e de posição em :
Considere uma nova variável a fim de facilitar a visualização do que está ocorrendo:
Então, temos que . Note que a função é crescente para o sinal positivo e decrescente para o sinal negativo (basta analisarmos o sinal da derivada). Para descobrimos sinal correto, portanto, analisaremos o crescimento da função inversa. Seja . Considere também que e , com . Como é estritamente crescente, temos que . Então:
Então, temos para , isto é, a função inversa cresce conforme cresce a coordenada na qual ela é aplicada, o que mostra que a inversa de também é estritamente crescente. Logo, a única opção para a inversa é: