Note que (p + 1) aparece duas vezes. Sabendo disso, nos é conveniente saber se (p + 1) e p² são primos entre si, para "simplificar" a expressão Primeiro vamos utilizar o algoritmo de Euclides e mostrar que p e (p + 1) é primo entre si mdc(p + 1, p) = mdc(p + 1, (p + 1) - p) = mdc(p + 1, 1) = 1 Como queríamos mostrar.
E se p é primo com (p + 1), implica que p elevado a um número natural qualquer (onde chamaremos e b), continuará sendo primo com (p + 1)
mdc(p + 1, pᵇ) = 1
Se b é igual a 2 em particular, teremos a classe inversa de (p + 1) mod p² (chamaremos essa classe inversa de p'²)
Multiplique ambos os lados pela classe inversa de (p + 1)
Vamos provar por P.I.F, que essa congruência é verdadeira para qualquer n e p maior ou igual a 1
Por H.I, temos que
Verificando na base para n = 1
Todo número é divisível por ele mesmo, portanto a congruência é verdadeira Com isso vamos assumir para um determinado valor de n, onde chamaremos de k, n = k
Com isso queremos verificar se é válido para n = k + 1
Multiplique pk + p - 1 por p + 1
Como já sabemos, p² deixa resto 0 na divisão por p², portanto temos
Lista de comentários
Verified answer
Olá Lukyo.Mostre que
(pn − 1) · (p + 1)ⁿ⁺¹ + p + 1 ≡ 0 (mod p²)
para quaisquer p, n naturais, p ≥ 1, n ≥ 1.
___________________________________
Teoremas e produtos notáveis usados
________________________________
Organizando a expressão
Note que (p + 1) aparece duas vezes. Sabendo disso, nos é conveniente saber se (p + 1) e p² são primos entre si, para "simplificar" a expressão
Primeiro vamos utilizar o algoritmo de Euclides e mostrar que p e (p + 1) é primo entre si
mdc(p + 1, p) = mdc(p + 1, (p + 1) - p) = mdc(p + 1, 1) = 1
Como queríamos mostrar.
E se p é primo com (p + 1), implica que p elevado a um número natural qualquer (onde chamaremos e b), continuará sendo primo com (p + 1)
mdc(p + 1, pᵇ) = 1
Se b é igual a 2 em particular, teremos a classe inversa de (p + 1) mod p² (chamaremos essa classe inversa de p'²)
Multiplique ambos os lados pela classe inversa de (p + 1)
Vamos provar por P.I.F, que essa congruência é verdadeira para qualquer n e p maior ou igual a 1
Por H.I, temos que
Verificando na base para n = 1
Todo número é divisível por ele mesmo, portanto a congruência é verdadeira
Com isso vamos assumir para um determinado valor de n, onde chamaremos de k, n = k
Com isso queremos verificar se é válido para n = k + 1
Multiplique pk + p - 1 por p + 1
Como já sabemos, p² deixa resto 0 na divisão por p², portanto temos
Concluindo o que queríamos mostrar
Dúvidas? comente.