superaks
Cartamente não. Se mdc(x - 1, x + 1) = 2, temos que. x - 1 = 2u³ e x + 1 = 2ⁿv³, com n Ξ 2 (mod 3) e (u, v) = 1. Ou x - 1 = 2ⁿ . u³ e x + 1 = 2 . v³
superaks
Se x + 1 e x - 1 são primos entre si, então ambos devem ser um cubo perfeito. x + 1 = u³ e x - 1 = v³. Logo, u³ - v³ = 2. Esse caso é fácil de analisar pois a u³ e v³ devem ser cubos perfeitos muito próximos, então certamente se existir solução ela sera única
superaks
A menor distância entre cubos perfeitos é para cubos perfeitos consecutivos. Pegue: (a + 1)³ - a³ = 3a(a + 1), para a ≥ 0. Então temos que a diferença entrr dois cubos perfeitos consecutivos nao negativos representaria uma parábola de concavidade para cima, então sua diferença é crescente
superaks
A menor diferença seria para a = 0. 1³ - 0³ = 1 < 2. Se a = 2, 2³ - 1 = 7 > 2. Então não existem soluções para x + 1 e x - 1 primos entre si
superaks
Mas e para o caso (2) ? Como poderíamos verificar ?
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