Encontre todos os inteiros positivos n tais que n³ + 1 é um quadrado perfeito.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 137 Report

Encontre todos os inteiros positivos n tais que n³ + 1 é um quadrado perfeito.

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carlosmath $n^3+1=x^2\\ \\
n^3=x^2-1\\ \\
n^3=(x-1)(x+1)\\ \\
x-1=(x+1)^2~\vee~ x+1=(x-1)^2 \\ \\
x^2+x+2=0~\vee~ x^2-3x=0\\ \\
x(x-3)=0\\ \\
x\in\{0,3\}\\ \\
\texttt{ent\~ao }n=2$

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superaks Cartamente não. Se mdc(x - 1, x + 1) = 2, temos que. x - 1 = 2u³ e x + 1 = 2ⁿv³, com n Ξ 2 (mod 3) e (u, v) = 1. Ou x - 1 = 2ⁿ . u³ e x + 1 = 2 . v³

superaks Preciso ver uma demonstração do caso 2

superaks Não seria análoga

superaks Se x + 1 e x - 1 são primos entre si, então ambos devem ser um cubo perfeito. x + 1 = u³ e x - 1 = v³. Logo, u³ - v³ = 2. Esse caso é fácil de analisar pois a u³ e v³ devem ser cubos perfeitos muito próximos, então certamente se existir solução ela sera única

superaks A menor distância entre cubos perfeitos é para cubos perfeitos consecutivos. Pegue: (a + 1)³ - a³ = 3a(a + 1), para a ≥ 0. Então temos que a diferença entrr dois cubos perfeitos consecutivos nao negativos representaria uma parábola de concavidade para cima, então sua diferença é crescente

superaks A menor diferença seria para a = 0. 1³ - 0³ = 1 < 2. Se a = 2, 2³ - 1 = 7 > 2. Então não existem soluções para x + 1 e x - 1 primos entre si

superaks Mas e para o caso (2) ? Como poderíamos verificar ?