Encontre uma fórmula do termo geral para a sequência
(0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ...)
em termos de uma única sentença.
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Obs.: Na sequência dada,
• os termos de ordem ímpar são nulos,
• os termos de ordem par formam a sequência dos naturais 1, 2, 3, ...
(0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ...)
em termos de uma única sentença.
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Obs.: Na sequência dada,
• os termos de ordem ímpar são nulos,
• os termos de ordem par formam a sequência dos naturais 1, 2, 3, ...
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f(x)= fórmula geral (Resposta)
x=Posição de cada termo
y = Funções que irei manipular. (E suas respectivas sequências em função de f(x)). *Não são iguais nas diferentes manipulações
Assim, primeiramente definir:
y = f(x)
em que f(x) rege a sequência: (0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,..) Considerando f(1) = 0
Dividirei o segundo membro por 0.5x
Assim, a nova função y será:
y = (0/(0,5*1); 1/(0.5*2); 0*(0.5*3); 2*(0.5*4); 0*(0.5*5); 3*(0.5*6); ...)
y= (0;1;0;1;0;1;0;1...)
Agora multiplicarei o segundo membro por 2
E a sequência ficará
y=(0*2;1*2;0*2;1*2;0*2;1*2:...}
y=(0;2;0;2;0;2;0;2...)
Por último, irei subtrair uma unidade do segundo membro.
y=(0-1;2-1;0-1;2-1;0-1;2-1;...)
y=(-1;1;-1;1;-1;1...)
Veja que essa última função assemelha muito à uma determinada função trigonométrica que possui f(0) = 1, amplitude = 1 e período = 2.
É a função
Podemos então, finalmente, reescrever a equação como:
Basta agora apenas isolar f(x) e encontrar a resposta.
Informação adicional:
Posso definir y também como a função (-1)^x, que funciona perfeitamente para x pertencente aos inteiros.
Assim a função ficará:
Dúvidas? Comente.