Expressões irracionais. Simplificação de radicais. Verifique a identidade abaixo: para Favor respon.... Pergunta de ideia deLukyo

May 2019 1 149 Report

Expressões irracionais. Simplificação de radicais.

Verifique a identidade abaixo:

$\begin{array}{l}\mathsf{\sqrt{x\pm y}=\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm \sqrt{\dfrac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}} \end{array}$

para $\mathsf{x,\,y\in\mathbb{R},~~0\le y\le x.}$

Favor responder passo a passo de forma clara, organizada e detalhada. Obrigado. :)

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viniciusredchil

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Resposta:

Está provado abaixo que

$\boxed{\sqrt{x\pm y}=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}}$

Para as restrições dadas no enunciado.

Explicação passo-a-passo:

Segundo as restrições dadas no enunciado podemos utilizar das seguintes igualdades:

$*\ \ \sqrt{x^2-y^2}\in \mathbb{R}\\\\\ *\sqrt{y^2}=|y| = y$

Vamos então a resolução:

$R=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\pm\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}})\\\\E=\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\pm\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}\implies R=\frac{E}{\sqrt{2}}\\\\\\\\E^2=x+\sqrt{x^2-y^2}\pm2\sqrt{x^2-(x^2-y^2)}+x-\sqrt{x^2-y^2}\\\\E^2=2x\pm2y\\\\E=\pm\sqrt{2*(x\pm y)}\\\\|E|=\sqrt{2}*\sqrt{x\pm y}$

Para prosseguir, é necessário provar que |E| = E, utilizando-se das condições dadas pelo enunciado.

$a = \sqrt{x^2-y^2}\implies 0\leq a\leq x\\\\b=x+a\implies 0\leq x\leq b\\\\b^*=x-a\implies 0\leq b^*\leq x\implies0\leq b^*\leq b\\\\\frac{d}{dx}\sqrt{x}>0 \ (x>0)\implies(0\leq b^*\leq b \implies 0\leq\sqrt{b^*}\leq\sqrt{b})\\\\E=\sqrt{b}\pm\sqrt{b^*}\implies E\geq 0\implies |E|=E$

$\\\\\sqrt{x\pm y}=\frac{|E|}{\sqrt{2}}=\frac{E}{2}=R\\\\\\\\\boxed{\sqrt{x\pm y}=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}}$