Forneça uma fórmula fechada para o seguinte somatório:
Dica: soma telescópica.
________
Instruções: A resposta mais bem detalhada e organizada será marcada como a melhor, além de receber obrigado e estrelinhas.
Só responda se souber. Quem responder errado de propósito, com brincadeiras apenas para ganhar os pontos, terá a resposta eliminada e os pontos retirados. Obrigado. =)
Dica: soma telescópica.
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Instruções: A resposta mais bem detalhada e organizada será marcada como a melhor, além de receber obrigado e estrelinhas.
Só responda se souber. Quem responder errado de propósito, com brincadeiras apenas para ganhar os pontos, terá a resposta eliminada e os pontos retirados. Obrigado. =)
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(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]=(Ak+B)/(k²+1)+(Ck+D)/(k²-2k+2)1+k-k²=(Ak+B)(k²-2k+2)+(Ck+D)(k²+1)
1+k-k²=(A+C)k³+(-2A+B+D)k²+(2A-2B+C)k+(2B+D)
A+C=0 → C=-A
-2A+B+D=-1
2A-2B+C=1
2B+D=1 → D=1-2B
-2A+B+(1-2B)=-1
2A-2B+(-A)=1
-2A-B=-2
A-2B=1
A=1, B=0, C=-1, D=1
Logo:
(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]=k/(k²+1)-(k-1)/(k²-2k+2)
(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]=k/(k²+1)-(k-1)/[(k-1)²+1]
Assim:
S=Σ {(1+k-k²)/[(1+k²)(2-2k+k²)]}, de k=1 a k=n
S=Σ {k/(k²+1)-(k-1)/[(k-1)²+1]}, de k=1 a k=n
Seja a(k)=k/(k²+1). Assim:
S=Σ {a(k)-a(k-1)}, de k=1 a k=n
S=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(3)-a(2)+a(2)-a(1)+a(1)-a(0)
Cancelando os termos comuns:
S=a(n)-a(0)
S=n/(n²+1)-0/(0²+1)
S=n/(n²+1)-0
S=n/(n²+1)
//////. ///////. ///////////. ///////. /
boa tarde, dúvidas? comente!! :)