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Lukyo
@Lukyo
November 2019
1
167
Report
Calcule algebricamente o limite
lim [(x + h)^a − x^a]/h
h → 0
com a ∈ ℝ.
Favor não aplicar as regras de L'Hospital nem usar o conceito pronto de derivada.
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ArthurPDC
Verified answer
Queremos calcular algebricamente o seguinte limite:
Como o limite é em relação a h, vamos tentar "remover" a variável x, a fim de simplificá-lo. Para isso, vamos inicialmente calcular o limite para
:
Agora, vamos desenvolver o limite considerando
:
Vamos fazer a substituição:
. Repare que
quando
:
Para resolvermos o limite acima, vamos fazer uma nova troca de variáveis, qual seja:
Então,
quando
. Vamos analisar o caso
antes de substituir:
Agora, substituindo:
Podemos aplicar o limite fundamental:
na primeira fração. Na segunda, vamos fazer uma nova substituição:
E, desse modo, poderemos aplicar o mesmo limite fundamental. Quando
, temos
, como segue:
Veja que os limites quando
e
também se encaixam nessa solução. Portanto,
, temos:
2 votes
Thanks 4
Lukyo
Muito obrigado! :-)
ArthurPDC
De nada!
superaks
Ótima resposta !
ArthurPDC
Obrigado!
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Report "Calcule algebricamente o limite lim [(x + h)^a − x^a]/h h → 0com a ∈ ℝ.Favor não aplicar as regras .... Pergunta de ideia de Lukyo"
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Queremos calcular algebricamente o seguinte limite:Como o limite é em relação a h, vamos tentar "remover" a variável x, a fim de simplificá-lo. Para isso, vamos inicialmente calcular o limite para :
Agora, vamos desenvolver o limite considerando :
Vamos fazer a substituição: . Repare que quando :
Para resolvermos o limite acima, vamos fazer uma nova troca de variáveis, qual seja:
Então, quando . Vamos analisar o caso antes de substituir:
Agora, substituindo:
Podemos aplicar o limite fundamental: na primeira fração. Na segunda, vamos fazer uma nova substituição:
E, desse modo, poderemos aplicar o mesmo limite fundamental. Quando , temos , como segue:
Veja que os limites quando e também se encaixam nessa solução. Portanto, , temos: