Mostre matematicamente que 5 divide 4^(2n – 1) + 1, para todo n natural, n ≥ 1.
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Para demonstrar que 5 divide 4^(2n - 1) + 1, irei usar a aritmética modular, mas antes fazer uma pequena introdução de algumas informações importantes da aritmética modular, para que fique claro o entendimento Aritmética modular tem a seguinte notação
Se lê, a é congruente a b mod n, ou seja, a tem o mesmo resto que b na divisão por n
Abaixo um exemplo com números
Em matemática, sabemos que um elemento neutro é um valor que não altera o resultado da operação. Em adição e subtração temos o 0, e em multiplicação temos o 1. Já um elemento absorvente, é aquele que combinado com um valor qualquer, resultará no próprio elemento. Em multiplicação temos o 0. Em aritmética modular, temos que o modulo passa a ser o elemento neutro da adição e subtração, e também passa ser o elemento absorvente da multiplicação Veja o exemplo abaixo para o elemento neutro
Agora para o elemento absorvente
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Vamos igualar a expressão a x
Onde x é um inteiro.
Aplicando congruência módulo 5
Subtraia 5 (elemento neutro), a potência de base 4.
Note que (-1) está sendo elevado a um expoente ímpar, e em potências elevados a expoentes ímpares, o sinal da base é mantido na operação de potência. E sabendo que 1 elevado a qualquer valor, o resultado continua sendo ele mesmo, teremos:
Temos que x será congruente a 0 mod 5, que é equivalente a dizer que x deixará resto 0 na divisão por 5. Portanto 5 divide x que é igual a .
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Olá Lukyo.Mostre matematicamente que 5 divide 4^(2n – 1) + 1, para todo n natural, n ≥ 1.
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Para demonstrar que 5 divide 4^(2n - 1) + 1, irei usar a aritmética modular, mas antes fazer uma pequena introdução de algumas informações importantes da aritmética modular, para que fique claro o entendimento
Aritmética modular tem a seguinte notação
Se lê, a é congruente a b mod n, ou seja, a tem o mesmo resto que b na divisão por n
Abaixo um exemplo com números
Em matemática, sabemos que um elemento neutro é um valor que não altera o resultado da operação. Em adição e subtração temos o 0, e em multiplicação temos o 1. Já um elemento absorvente, é aquele que combinado com um valor qualquer, resultará no próprio elemento. Em multiplicação temos o 0.
Em aritmética modular, temos que o modulo passa a ser o elemento neutro da adição e subtração, e também passa ser o elemento absorvente da multiplicação
Veja o exemplo abaixo para o elemento neutro
Agora para o elemento absorvente
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Vamos igualar a expressão a x
Onde x é um inteiro.
Aplicando congruência módulo 5
Subtraia 5 (elemento neutro), a potência de base 4.
Note que (-1) está sendo elevado a um expoente ímpar, e em potências elevados a expoentes ímpares, o sinal da base é mantido na operação de potência. E sabendo que 1 elevado a qualquer valor, o resultado continua sendo ele mesmo, teremos:
Temos que x será congruente a 0 mod 5, que é equivalente a dizer que x deixará resto 0 na divisão por 5. Portanto 5 divide x que é igual a .
Portanto 5 divide como queríamos demonstrar
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