Mostre que a função
f(x) = cos(2x) + sen(√3 x)
não é periódica.
=====
Favor responder passo a passo, de forma detalhada, clara e completa.
f(x) = cos(2x) + sen(√3 x)
não é periódica.
=====
Favor responder passo a passo, de forma detalhada, clara e completa.
More Questions From This User See All
Lista de comentários
Verified answer
Para que a soma das funções trigonométricas seja periódica, é necessário que o cruzamento das funções ocorra em uma certa altura h por pelo menos 2 vezes.Esses 2 encontros consecutivos são separados por um certo período caso a soma das funções seja periódica e se isto ocorrer, não serão apenas 2 encontros, mas infinitos, devido a periodicidade do evento.
Vamos definir essa altura h como 0 (Eixo x) para facilitar o entendimento.
Os encontros da primeira função com o eixo x é dado por:
E da segunda função:
Igualando os pontos de encontro, temos:
a e b devem ser inteiros, assim o segundo membro da equação com certeza é um número irracional. Dessa forma não há nenhum a inteiro que somado a 1/4 dê um número racional.
Mesmo se considerarmos um deslocamento de pi/4 à esquerda, o par ordenado (0;0) pode ser levado em conta, porém não haverá nenhum outro par ordenado (a;b) que satisfará a nova equação.
Resumindo: Nunca haverá o encontro deles simultaneamente em uma altura h, pois não há o chamado período comum, que é o próprio período da função dada no enunciado. O período comum é calculado pelo "mínimo múltiplo comum" entre os períodos, ou seja um determinado a e b inteiros que multiplicados pelos respectivos períodos, igualam-os. Isso é impossível de acontecer com um período racional e outro irracional, pois não há nenhum inteiro a que multiplicado por 1 dê o número