Note que todos eles são compostos, pois como n ≥ 1, então n + 1 ≥ 2, logo:
2 | (n + 1)! + 2
Garantido que para n = 1 vale, garantims que para os demais também vale, pois para um inteiro k no seguinte intervalo.
2 ≤ k ≤ n + 1
Temos que k é fator de (n + 1)!, pois k é menor ou igual a n + 1, então k divide (n + 1)!, logo.
k | (n + 1)! + k
Como (n + 1)! + k tem um divisor k que é maior que 1, então ele é composto.
Outra resolução:
Teorema Chinês dos restos.
Se são inteiros positivios primos entre si dois a dois, e a é um inteiro, então.
O sistema de congruência acima tem solução.
Então podemos usar o teorema chinês dos restos para criar uma lista de números consecutivos com um divisor qualquer. Isso é interessante pois podemos atribuir qualquer valor inteiro positivo para um , e teremos que o sistema ainda sim terá solução.
Pegue por exemplo os seguintes n números primos e um inteiro positivo a tais que.
Pelo teorema chinês dos restos, sabemos que:
O sistema de congruência acima tem solução, ou seja, irá existir n números consecutivos divisíveis por um certo primo p onde p é menor que todos eles, logo, é uma lista de n números consecutivos compostos.
A solução dessa congruência terá o seguinte formato:
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Olá Lukyo.Mostre que dado um número natural n ≥ 1, existe uma sequência de pelo menos n naturais consecutivos compostos.
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Uma forma de pensar, seria utilizando fatoriais.
Note que:
n + 1 > n
Então podemos pegar os seguintes n números consecutivos.
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1) + 4, ..., (n + 1)! + (n + 1)
Note que todos eles são compostos, pois como n ≥ 1, então n + 1 ≥ 2, logo:
2 | (n + 1)! + 2
Garantido que para n = 1 vale, garantims que para os demais também vale, pois para um inteiro k no seguinte intervalo.
2 ≤ k ≤ n + 1
Temos que k é fator de (n + 1)!, pois k é menor ou igual a n + 1, então k divide (n + 1)!, logo.
k | (n + 1)! + k
Como (n + 1)! + k tem um divisor k que é maior que 1, então ele é composto.
Outra resolução:
Teorema Chinês dos restos.
Se
O sistema de congruência acima tem solução.
Então podemos usar o teorema chinês dos restos para criar uma lista de números consecutivos com um divisor qualquer. Isso é interessante pois podemos atribuir qualquer valor inteiro positivo para um
Pegue por exemplo os seguintes n números primos e um inteiro positivo a tais que.
Pelo teorema chinês dos restos, sabemos que:
O sistema de congruência acima tem solução, ou seja, irá existir n números consecutivos divisíveis por um certo primo p onde p é menor que todos eles, logo, é uma lista de n números consecutivos compostos.
A solução dessa congruência terá o seguinte formato:
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