Cada termo vai adicionando um algarismo uma unidade maior que o anterior, cresce de forma decrescente.
Para encontrar sua fórmula fechada eu irei usar o seguinte raciocínio.
Vou optar por inicialmente achar uma sequência de ordem crescente, ou seja: (10, 120, 1 230, 12 340, ...).
Para isso farei da seguinte forma.
Pensei em somas de 111..110, com n quantidades de 1. Dessa forma temos:
Para isso antes de mais nada é necessário encontrar uma equação que forneça sempre números seguidos de 1. E isso é bem simples, veja.
Uma potência de 10 tem sempre o índice do expoente seguido de 1 unidade de algarismos. Se nós tirarmos 1 unidade iremos ter uma unidade a menos e passaremos a ter uma sequência de n algarismos iguais a 9.
Obtendo um número com n algarismos 9, para obter um número com n algarismos 1 ficou fácil. Basta dividir este número por 9.
Portanto temos:
Agora basta multiplicar por 10 para obter mais um 0 no final.
Encontrando a fórmula fechada dessa sequência.
Acima temos uma soma de uma P.G que é obtida pela seguinte fórmula
Aplicando a soma de uma P.G na nossa fórmula.
Então essa seria a fórmula fechada de uma sequência que cresce em ordem crescente.
Para obter a sequência que cresce em ordem decrescente agora ficou fácil. Basta subtrair essa sequência por um número que seja seguido de n algarismos com uma unidade maior que o maior desses algarismos..
Exemplo:
22 - 12 = 10 333 - 123 = 210 4 444 - 1234 = 3 210
Mas para isso é necessário que o primeiro algarismos seja o 12, então irei remover o 10 que multiplica toda essa sequência e adicionar (n + 1) para que conte a partir de 12.
Ficando:
Provando por P.I.F. Verificando se é valido para n = 1. Por H.I, vamos assumir que é valido para n = k, e com isso queremos que é válido para n = k + 1.
Como queríamos mostrar por P.I.F, à formula fechada desse somatório realmente é:
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Olá Lukyo.Obtenha a fórmula fechada para a seguinte soma:
Observando o comportamento do somatório.
S = (10, 210, 3 210, 43 210, ...)
Cada termo vai adicionando um algarismo uma unidade maior que o anterior, cresce de forma decrescente.
Para encontrar sua fórmula fechada eu irei usar o seguinte raciocínio.
Vou optar por inicialmente achar uma sequência de ordem crescente, ou seja: (10, 120, 1 230, 12 340, ...).
Para isso farei da seguinte forma.
Pensei em somas de 111..110, com n quantidades de 1. Dessa forma temos:
Para isso antes de mais nada é necessário encontrar uma equação que forneça sempre números seguidos de 1. E isso é bem simples, veja.
Uma potência de 10 tem sempre o índice do expoente seguido de 1 unidade de algarismos. Se nós tirarmos 1 unidade iremos ter uma unidade a menos e passaremos a ter uma sequência de n algarismos iguais a 9.
Obtendo um número com n algarismos 9, para obter um número com n algarismos 1 ficou fácil. Basta dividir este número por 9.
Portanto temos:
Agora basta multiplicar por 10 para obter mais um 0 no final.
Encontrando a fórmula fechada dessa sequência.
Acima temos uma soma de uma P.G que é obtida pela seguinte fórmula
Aplicando a soma de uma P.G na nossa fórmula.
Então essa seria a fórmula fechada de uma sequência que cresce em ordem crescente.
Para obter a sequência que cresce em ordem decrescente agora ficou fácil. Basta subtrair essa sequência por um número que seja seguido de n algarismos com uma unidade maior que o maior desses algarismos..
Exemplo:
22 - 12 = 10
333 - 123 = 210
4 444 - 1234 = 3 210
Mas para isso é necessário que o primeiro algarismos seja o 12, então irei remover o 10 que multiplica toda essa sequência e adicionar (n + 1) para que conte a partir de 12.
Ficando:
Provando por P.I.F.
Verificando se é valido para n = 1.
Por H.I, vamos assumir que é valido para n = k, e com isso queremos que é válido para n = k + 1.
Como queríamos mostrar por P.I.F, à formula fechada desse somatório realmente é:
Para todo n ≥ 1.
Dúvidas? comente.