Resolva a equação trigonométrica, sendo U = [0, π]:.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 153 Report

Resolva a equação trigonométrica, sendo U = [0, π]:

$4\sec^2 x-2\sec^2(\frac{x}{2})\sec^2 x+11\sec^2(\frac{x}{2})-20=0$

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Krikor

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Resolver a seguinte equação trigonométrica:

$\mathsf{4sec^2 x-2sec^2(\frac{x}{2})sec^2 x+11sec^2(\frac{x}{2})-20=0}$

Identidades trigonométricas usadas:

• $\mathsf{sec^2x=\dfrac{1}{cos^2x}}$

• $\mathsf{cos^2(\frac{x}{2})=\dfrac{cos\ x\ +1}{2}}$

__________

Sabendo que primeira identidade trigonométrica, vem:

$\mathsf{\dfrac{4}{cos^2x}-\dfrac{2}{cos^2x\cdot cos^2(\frac{x}{2})}+\dfrac{11}{cos^2(\frac{x}{2})}-20=0}$

$\mathsf{4\ cos^2(\frac{x}{2})-2+11\ cos^2x-20\ cos^2x\ cos^2(\frac{x}{2})=0}$

Levando em consideração a segunda identidade trigonométrica, vem:

$\mathsf{4\ cos^2(\frac{x}{2})-2+11\ cos^2x-20\ cos^2x\ cos^2(\frac{x}{2})=0}$

$\mathsf{4\cdot \dfrac{cos\ x\ +1}{2}-2+11\ cos^2x-20\ cos^2x\cdot \dfrac{cos\ x\ +1}{2}=0}$

$\mathsf{2cos\ x\ +\diagup\!\!\!\!2-\diagup\!\!\!\!2+11\ cos^2x-10cos^3x-10cos^2x=0}$

$\mathsf{-10cos^3x+cos^2x+2cos\ x=0}$

Fazendo cos x = y, vem:

$\mathsf{-10y^3+y^2+2y=0}$

$\mathsf{y\cdot (-10y^2+y+2)=0}$

Uma das raízes é igual a zero, as outras se encontram na equação de segundo grau, podemos encontra-las através da fórmula de Bháskara

$\left.\begin{matrix} \begin{array}{l} \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=1^2-4\cdot (-10)\cdot 2}\\\\ \mathsf{\Delta=1+80}\\\\ \mathsf{\Delta=81} \end{array} \end{matrix}\right|\begin{matrix} \begin{array}{l} \mathsf{y=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2(-10)}}\\\\ \mathsf{y=\dfrac{1\mp 9}{20}} \end{array} \end{matrix}$

$\mathsf{y'=0\qquad y''=\dfrac{1}{2}\qquad y'''=-\dfrac{2}{5}}$

Agora basta substituirmos y novamente por cos x:

• Primeiro valor

$\mathsf{y=0}$

$\mathsf{cos\ x=0}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}\ rad\qquad \diagup\!\!\!\!\!\diagdown}$

Repare que y não pode assumir esse valor pois se o cosseno for nulo o valor de sec x será indeterminado.

• Segundo valor

$\mathsf{y=\dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{cos\ x=\dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}\ rad \qquad\checkmark}$

• Terceiro valor

$\mathsf{y=-\dfrac{2}{5}}$

$\mathsf{cos\ x=-\dfrac{2}{5}}$

$\mathsf{x=arc\ cos\left(-\dfrac{2}{5}\right)\qquad\checkmark}$

$\mathsf{S=\left\{\dfrac{\pi}{3},arc\ cos \left(-\dfrac{2}{5}\right)\right\}}$

Bons estudos! =)

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