Vamos provar por redução ao absurdo. Supondo que o mdc de a e b seja maior que 1, e chamaremos esse mdc de d mdc(a, b) = d e d > 1
Como d é o mdc de a e b, então d os divide e d será menor ou igual a a ou a b, ou seja: d ≤ min(a, b)
A notação min(x, y) retorna o menor número, ou seja, x ou y.
d | a ⇔ dx = a d | b ⇔ dy = b
Se d divide a e d divide b, então d dividirá a soma entre eles d | a + b ⇔ d(x + y) = a + b Mas a + b é igual a p que é primo, então d divide esse primo d | p ⇔ d(x + y) = p
Mas se d é maior que 1 e divide p que é primo, isso é um absurdo! Já que um número primo só pode ser divisível por 1 e ele mesmo, e sabemos que d é maior que 1 e também é menor ou igual a a ou a b, significa que d não poderia ser igual a p.
Utilizando notação algébrica, temos d ≤ min(a, b) < p Portanto, se p = a + b, o mdc(a, b) = 1
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Olá LukyoSendo p primo, p > 2, mostre que
Para todo a, b ∈ ℕ*,
Se p = a + b, então mdc(a, b) = 1.
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Vamos provar por redução ao absurdo.
Supondo que o mdc de a e b seja maior que 1, e chamaremos esse mdc de d
mdc(a, b) = d e d > 1
Como d é o mdc de a e b, então d os divide e d será menor ou igual a a ou a b, ou seja: d ≤ min(a, b)
d | a ⇔ dx = a
d | b ⇔ dy = b
Se d divide a e d divide b, então d dividirá a soma entre eles
d | a + b ⇔ d(x + y) = a + b
Mas a + b é igual a p que é primo, então d divide esse primo
d | p ⇔ d(x + y) = p
Mas se d é maior que 1 e divide p que é primo, isso é um absurdo! Já que um número primo só pode ser divisível por 1 e ele mesmo, e sabemos que d é maior que 1 e também é menor ou igual a a ou a b, significa que d não poderia ser igual a p.
Utilizando notação algébrica, temos
d ≤ min(a, b) < p
Portanto, se p = a + b, o mdc(a, b) = 1
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