Teoria de Conjuntos.
Usando os conceitos de inclusão e união, mostre que dados dois conjuntos A e B,
se B ⊂ A, então A ∪ B = A.
Usando os conceitos de inclusão e união, mostre que dados dois conjuntos A e B,
se B ⊂ A, então A ∪ B = A.
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Olá, Lukyo.Dado: B ⊂ A, isto é, todo elemento x de B é elemento de A:
x ∈ B ⇒ x ∈ A
A união A ∪ B é o conjunto pelos elementos de A ou(lógico) B. Com isso, para um elemento qualquer a de A, devemos ter que:
a ∈ A ∪ B.
Assim, todo elemento de A pertence à união, pois a é genérico. Assim, A está contido na união:
A ⊂ (A∪B) (I)
Agora, analisemos a união. Para um elemento b ser da união, é preciso que:
[b ∈ (A ∪ B)] ⇒ (b ∈ A) ∨ (b ∈ B)
Entretanto, como mostrado no início, b ∈ B ⇒ b ∈ A. Assim, nossa proposição é:
(b ∈ A) ∨ (b ∈ A) ⇔ b ∈ A
Logo:
[b ∈ (A ∪ B)] ⇒ b ∈ A
Logo, todo elemento da união é elemento de A. Assim:
(A∪B) ⊂ A (II)
De (I) e (II), vemos que A contém a união e está contida nessa. Isso só ocorre se os conjuntos forem iguais. Portanto:
A ∪ B = A