Teoria dos números. Critério de divisibilidade.
Seja a um natural fromado por no máximo dois algarismos, e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n, tal que
n = 100b + a
(a é o número formado pelos dois últimos algarismos de n, e b é o número formado pelos algarismos restantes).
Nessas condições, justifique a proposição
n é divisível por 101 se, e somente se, a diferença b − a é divisível por 101.
Seja a um natural fromado por no máximo dois algarismos, e b ∈ ℕ*. Considere o número natural n, tal que
n = 100b + a
(a é o número formado pelos dois últimos algarismos de n, e b é o número formado pelos algarismos restantes).
Nessas condições, justifique a proposição
n é divisível por 101 se, e somente se, a diferença b − a é divisível por 101.
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n=100b+a=101b+a-b=101b-(b-a)
101b é divisível por 101
e se b-a é divisível por 101 ==> n é divisível por 101
------------------------------------------------------------------------
Se b-a é divisível por 101
n=100b+a=101b+a-b=101b-(b-a)
b-a=101b - n , como 101b é divisível por 1001 ==> n é divisível por 101
Se 101 | 100b + a, então 101 | b - a
Temos que:
101 | 100b + a
Some e subtraia b.
101 | 100b + a + (b - b)
101 | 101b + a - b
101 | a - b
100 | b - a
Como queríamos provar.
Provando a volta.
Se 101 | b - a, então 101 | 100b + a
Temos que.
101 | b - a
101 | a - b
Some 101b.
101 | a - b + 101b
101 | 100b + a
Concluindo o que queríamos provar.
Logo,
101 | 100b + a, se, e somente se, 101 | b - a.
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