Teoria dos números.Mostre que se p é primo, p diferente de 2 e p diferente de 5, então existe um nat.... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 206 Report

Teoria dos números.

Mostre que se p é primo, p diferente de 2 e p diferente de 5, então existe um natural n tal que

p divide $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=0}^n}$ 9 · 10^k.

=====

Em outras palavras, queremos mostrar que para todo p primo diferente de 2 e diferente de 5, existe um natural formado apenas pelo algarismo 9, que é divisível por p.

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superaks

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Olá Lukyo.

Teorema usado.

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{a^p\equiv a~(mod~p)}}}\\\\\\\star\boxed{\boxed{\mathsf{a'\cdot a\equiv1~(mod~z)~~~se,~mdc(a,z)=1}}}$

Pelo teorema de Fermat, sabemos que um número qualquer a, estiver elevado a um primo p, esse a será congruente ao próprio a.

Pelo enunciado queremos encontrar mostrar que um número formado de n algarismos 9 será divisível por um primo. Podemos representar esse número da seguinte forma.

$\mathsf{10^n-1}$

Uma potência de 10 terá n quantidade de 0 e mais um algarismo contando com o 1. Se nós tirarmos uma unidade desse número, ele passará a ter 1 algarismo a menos seguidos de 9.

Vamos usar congruência e procurar introduzir esse número para provar que o que pede o enunciado é possível.

Aplicando o teorema de Fermat.

$\mathsf{10^p\equiv10~(mod~p)}$

Como sabemos que esse primo é diferente de 5 e de 2, temos que.
mdc(p, 5) = 1 e mdc(p, 2) = 1

Se p é primo, o mdc de p com outro primo será 1. Isso significa que 10 tem classe inversa mod p. Portanto existe um p', tal que ao ser multiplicado por esse 10, ele será "simplificado" e passará a ser 1.

Em outras palavras, temos.

$\mathsf{10=10~~\cdot\Big(\dfrac{1}{10}\Big)}\\\\\mathsf{1=1}$

Um inverso multiplicativo de 10.

Voltando de onde paramos.

$\mathsf{10^p\equiv10~(mod~p)}\\\\\mathsf{10^p\equiv10~\cdot p'~(mod~p)}\\\\\mathsf{\diagup\!\!\!\!\!p'\cdot\diagup\!\!\!\!\!10\cdot10^{p-1}\equiv\diagup\!\!\!\!\!10\cdot \diagup\!\!\!\!\!p'~(mod~p)}\\\\\mathsf{10^{p-1}\equiv1~(mod~p)}\\\\\mathsf{10^{p-1}-1\equiv 0~(mod~p)}\\\\\mathsf{\underbrace{999...9}\equiv0~(mod~p)}\\\mathsf{~~_{p-1~vezes}}$

Concluímos o que queríamos demostrar.

Se p é primo diferente de 2 e de 5, existirá um número formado por somente algarismos 9, tal que esse número seja divisível por p.

Dúvidas? comente.

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Lukyo Obrigado. :)

superaks :D

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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