Mostre que se p é primo, p diferente de 2 e p diferente de 5, então existe um natural n tal que
p divide 9 · 10^k.
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Em outras palavras, queremos mostrar que para todo p primo diferente de 2 e diferente de 5, existe um natural formado apenas pelo algarismo 9, que é divisível por p.
Pelo teorema de Fermat, sabemos queum número qualquer a, estiver elevado a um primo p, esse a será congruente ao próprio a.
Pelo enunciado queremos encontrar mostrar que um número formado de n algarismos 9 será divisível por um primo. Podemos representar esse número da seguinte forma.
Uma potência de 10 terá n quantidade de 0 e mais um algarismo contando com o 1. Se nós tirarmos uma unidade desse número, ele passará a ter 1 algarismo a menos seguidos de 9.
Vamos usar congruência e procurar introduzir esse número para provar que o que pede o enunciado é possível.
Aplicando o teorema de Fermat.
Como sabemos que esse primo é diferente de 5 e de 2, temos que. mdc(p, 5) = 1 e mdc(p, 2) = 1
Se p é primo, o mdc de p com outro primo será 1. Isso significa que 10 tem classe inversa mod p. Portanto existe um p', tal que ao ser multiplicado por esse 10, ele será "simplificado" e passará a ser 1.
Em outras palavras, temos.
Um inverso multiplicativo de 10. Voltando de onde paramos.
Concluímos o que queríamos demostrar. Se p é primo diferente de 2 e de 5, existirá um número formado por somente algarismos 9, tal que esse número seja divisível por p.
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Olá Lukyo.Teorema usado.
Pelo teorema de Fermat, sabemos que um número qualquer a, estiver elevado a um primo p, esse a será congruente ao próprio a.
Pelo enunciado queremos encontrar mostrar que um número formado de n algarismos 9 será divisível por um primo. Podemos representar esse número da seguinte forma.
Uma potência de 10 terá n quantidade de 0 e mais um algarismo contando com o 1. Se nós tirarmos uma unidade desse número, ele passará a ter 1 algarismo a menos seguidos de 9.
Vamos usar congruência e procurar introduzir esse número para provar que o que pede o enunciado é possível.
Aplicando o teorema de Fermat.
Como sabemos que esse primo é diferente de 5 e de 2, temos que.
mdc(p, 5) = 1 e mdc(p, 2) = 1
Se p é primo, o mdc de p com outro primo será 1. Isso significa que 10 tem classe inversa mod p. Portanto existe um p', tal que ao ser multiplicado por esse 10, ele será "simplificado" e passará a ser 1.
Em outras palavras, temos.
Um inverso multiplicativo de 10.
Voltando de onde paramos.
Concluímos o que queríamos demostrar.
Se p é primo diferente de 2 e de 5, existirá um número formado por somente algarismos 9, tal que esse número seja divisível por p.
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