[UFMG – 2013] Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB = 160 e AD = 80; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q.
Considerando essas informações,
1. DETERMINE o raio QO da circunferência.
2. DETERMINE o comprimento do segmento PQ.
(Gabarito: 1. 40; 2. 32√5).
Favor responder detalhadamente passo a passo, de forma clara e organizada. Obrigado.
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1. o raio é metade do diâmetro. como a circunferência é tangente em três pontos da circunferência, o lado AD é igual ao seu diâmetroAD=d
r=AD/2
r=80/2
r=40
2. para calcular PQ, fazemos dois triângulos:
POQ e QDC onde são semelhantes e isósceles.
o lado PO é o raio da circunferência logo
PO=40
o lado QD é metade da diagonal. calculando
DQ²=160²+80²
DQ=80√5
fazendo a proporção
DQ/PO=DC/QP
40√5/40=160/QP
QP=160/√5
QP=32√5
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- cálculo do raio (OQ)
Veja que o diâmetro do círculo é igual a BC= 80, assim o raio OQ= 80 ÷ 2 = 40
- construir o triângulo isósceles AQB
Os triângulos AQB e QOP são semelhantes (ângulos Q e O são congruentes), assim podemos relacionar:
PQ ÷ AB = OQ ÷ AQ
Temos os valores de AB= 160, OQ= 40, AQ= ?
- cálculo do segmento AQ
Considerando o triângulo retângulo ABD, temos:
BD² = AB² + AD²
BD² = 160² + 80²
BD² = 32000
BD = √32000
BD= √42 * 202 * 5
BD= 4*20√5
BD= 80√5, assim
AQ= DQ= QB= DB ÷ 2 = 80√5 ÷ 2 = 40√5, logo:
PQ= AB * OQ ÷ AQ
PQ= 160 * 40 ÷ 40√5
PQ= 160 ÷ √5
PQ= (160 * √5) ÷ (√5 * √5)
PQ= (160 * √5) ÷ 5
PQ= 32√5