A soma dos termos de uma sequência numérica é dado pela fórmula:
Sabendo disso, crio a hipótese, onde n = k:
Vamos testar para saber se realmente funciona.
Para k = 3.
Para k = 4.
Para k = 5.
Para k = 6.
Assumindo a hipótese de P(k) como verdade, a tese é que vai funcionar para qualquer número seguido de k, ou seja, servirá para qualquer k+1:
Desenvolvemos até aqui apenas o lado direito, referente a soma desses termos.
Por causa do (-1)^k, será necessário pensar nas seguintes propriedades de potências:
¹Todo número negativo elevado a expoente par, por regra, se torna positivo; ²Todo número negativo elevado a expoente ímpar, por regra, permanece negativo.
Assim, temos que:
¹ - k par terá (-1)^k • k² positivo; ¹ - k par terá (-1)^(k + 1) • (k + 1)² negativo.
² - k ímpar terá (-1)^k • k² negativo. ² - k ímpar terá (-1)^(k+1) • (k + 1)² positivo.
Ao observar os casos testados, foi possível notar que o sinal final da soma dentro do módulo depende do último número da sequência. Quando o último foi par, o resultado final dentro do módulo foi par, assim como ocorreu o contrário.
No caso do nosso teste, com k + 1, teremos que o último termo dependerá se o k for ímpar ou par. Quando ímpar, o final será par, assim como quando for par, o final será ímpar.
Assim, temos dois casos específicos, onde buscaremos o valor absoluto.
(Substituiremos o valor da soma pelo que assumimos como verdade em nossa hipótese, junto do que foi observado e detalhado acima).
Para k par:
Tiramos do módulo com o valor absoluto:
Fatorando o lado esquerdo como equação de segundo grau, teremos:
Para k ímpar:
Tiramos do módulo com o valor absoluto:
Fatorando o lado esquerdo como equação de segundo grau, teremos:
Qualquer dúvida, deixe nos comentários. Bons estudos.
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Olá.Temos:
A soma dos termos de uma sequência numérica é dado pela fórmula:
Sabendo disso, crio a hipótese, onde n = k:
Vamos testar para saber se realmente funciona.
Para k = 3.
Para k = 4.
Para k = 5.
Para k = 6.
Assumindo a hipótese de P(k) como verdade, a tese é que vai funcionar para qualquer número seguido de k, ou seja, servirá para qualquer k+1:
Desenvolvemos até aqui apenas o lado direito, referente a soma desses termos.
Por causa do (-1)^k, será necessário pensar nas seguintes propriedades de potências:
¹Todo número negativo elevado a expoente par, por regra, se torna positivo;
²Todo número negativo elevado a expoente ímpar, por regra, permanece negativo.
Assim, temos que:
¹ - k par terá (-1)^k • k² positivo;
¹ - k par terá (-1)^(k + 1) • (k + 1)² negativo.
² - k ímpar terá (-1)^k • k² negativo.
² - k ímpar terá (-1)^(k+1) • (k + 1)² positivo.
Ao observar os casos testados, foi possível notar que o sinal final da soma dentro do módulo depende do último número da sequência.
Quando o último foi par, o resultado final dentro do módulo foi par, assim como ocorreu o contrário.
No caso do nosso teste, com k + 1, teremos que o último termo dependerá se o k for ímpar ou par.
Quando ímpar, o final será par, assim como quando for par, o final será ímpar.
Assim, temos dois casos específicos, onde buscaremos o valor absoluto.
(Substituiremos o valor da soma pelo que assumimos como verdade em nossa hipótese, junto do que foi observado e detalhado acima).
Para k par:
Tiramos do módulo com o valor absoluto:
Fatorando o lado esquerdo como equação de segundo grau, teremos:
Para k ímpar:
Tiramos do módulo com o valor absoluto:
Fatorando o lado esquerdo como equação de segundo grau, teremos:
Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.