Se x + 1/x = λ, encontre x²ⁿ + 1/x²ⁿ em função de n e λ, com n natural, n ≥ 1.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 147 Report

Se x + 1/x = λ, encontre x²ⁿ + 1/x²ⁿ em função de n e λ, com n natural, n ≥ 1.

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superaks

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Olá Lukyo.

Organizando a expressão.

$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=\lambda}$

Multiplique ambos os lados por x.

$\mathsf{x^2+1=\lambda x}\\\\\\\mathsf{x^2+\lambda x+1=0}$

Obtemos uma equação do segundo grau em x. Resolvendo, temos.

$\mathsf{x=\dfrac{\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-4}}{2}~(i)}$

Encontrando o intervalo de $\mathsf{\lambda}$ para que x seja um número real.

$\mathsf{\Delta=\lambda^2-4\geq0}\\\\\\\mathsf{\lambda^2\geq4}\\\\\\\mathsf{|\lambda|\geq2}$

Temos também que:

$\mathsf{x+\dfrac{1}{x}=\lambda}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{x}=\lambda-x}$

Substituindo o valor de x encontrado em (i) na equação acima.

$\mathsf{\dfrac{1}{x}=\lambda-\Big(\dfrac{\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-4}}{2}\Big)}\\\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{x}=\dfrac{2\lambda-\lambda\mp\sqrt{\lambda^2-4}}{2}}\\\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{x}=\dfrac{\lambda\mp\sqrt{\lambda^2-4}}{2}}$

Logo,

$\mathsf{x^{2n}+\Big(\dfrac{1}{x}\Big)^{2n}=\Big(\dfrac{\lambda\pm\sqrt{\lambda^2-4}}{2}\Big)^{2n}+\Big(\dfrac{\lambda\mp\sqrt{\lambda^2-4}}{2}\Big)^{2n}}$

Note que podemos desprezar o sinal de mais ou menos aqui, pois ambas as parcelas tem um papel simétrico.

$\mathsf{x^{2n}+\Big(\dfrac{1}{x}\Big)^{2n}=\Big(\dfrac{\lambda+\sqrt{\lambda^2-4}}{2}\Big)^{2n}+\Big(\dfrac{\lambda-\sqrt{\lambda^2-4}}{2}\Big)^{2n}}$

Dúvidas? comente.

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Lukyo Muito obrigado! :-)

superaks Disponha !!