(50 PONTOS) A figura em anexo mostra um quadrado ABCD inscrito a um setor circular de raio cujo âng.... Pergunta de ideia deLukyo

January 2020 1 266 Report

(50 PONTOS) A figura em anexo mostra um quadrado ABCD inscrito a um setor circular de raio $r,$ cujo ângulo de abertura mede $x$ ( $0<x\le \pi$ ).

Sabendo que a base CD é paralela à reta horizontal $t,$ obtenha uma expressão para a área do quadrado ABCD (em função de $r$ e $x$ ).

_________

Resposta: $A=\dfrac{4r^2}{1+\left(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2}\right)^{\!2}}$

Lista de comentários

Niiya

Verified answer

Veja as imagens para compreender a notação
_____________________________

Vamos encontrar os ângulos internos do triângulo (isósceles) $\mathrm{CDO}$ :

$a+a+x=\pi~~\Leftrightarrow~~2a+x=\pi~~\Leftrightarrow~~2a=\pi-x~\Leftrightarrow~\boxed{\boxed{a=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{x}{2}}}$

Agora, vamos achar a altura desse triângulo:

$\mathrm{tg}\,a=\dfrac{h}{(\frac{\ell}{2})}~~\Leftrightarrow~~h=\dfrac{\ell}{2}\,\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})$

Porém, temos a seguinte identidade:

$\mathrm{tg}(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2})=\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2}$

Daí:

$\boxed{\boxed{h=\dfrac{\ell}{2}\,\mathrm{cotg}\bigg(\frac{x}{2}\bigg)}}$

Note que $\overline{RB}=\overline{RC}+\overline{CB}=h+\ell=\dfrac{\ell}{2}\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2}+\ell=\dfrac{\ell}{2}(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})$

Olhando para o triângulo $\mathrm{BOR}$ , temos, pelo Teorema de Pirágoras:

$(\overline{RB})^{2}+(\overline{RO})^{2}=(\overline{OB})^{2}\\\\\\\bigg[\dfrac{\ell}{2}(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})\bigg]^{2}+\bigg[\dfrac{\ell}{2}\bigg]^{2}=r^{2}\\\\\\\dfrac{~\ell^{2}}{4}(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}+\dfrac{~\ell^{2}}{4}=r^{2}\\\\\\\dfrac{~\ell^{2}}{4}\bigg[1+(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}\bigg]=r^{2}\\\\\\\ell^{2}=\dfrac{4r^{2}}{1+(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}}$

Portanto, encontramos uma expressão para a área do quadrado, uma vez que $A=\ell^{2}$

$\boxed{\boxed{A=\dfrac{4r^{2}}{1+(2+\mathrm{cotg}\,\frac{x}{2})^{2}}}}$

5 votes Thanks 4

Lukyo Ótimo, Niiya. Muito bom! Obrigado :-)

Niiya Obrigado :)

Niiya Obrigado, pessoal :D

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

Responda

Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

Responda

Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

Responda

Recomendar perguntas

Poutrick May 2020 | 0 Respostas

A função horária do espaço de um carro, em movimento retilíneo uniforme, é dada pela seguinte expressão: x = 100 + 8.t Determine em que instante esse móvel passará pela posição 260 m sabendo que a função horária está no SI.

CARMEMHELENA May 2020 | 0 Respostas

Como achar a raiz quadrada de 169?

Grasielisiqueira May 2020 | 0 Respostas

Diferencie o neocolonialismo do século XIX do colonialismo do século XVI.

Ultravamaxiun May 2020 | 0 Respostas

1. Cite exemplos de situações nas quais percebemos a igualdade em nossa sociedade 2. você já presenciou ou sobe de situações nas quais o princípio da igualdade foi desrespeitado, em caso afirmativo, que situações foram essas

Deividyfreitas May 2020 | 0 Respostas

Numa floresta, as alturas em que estão os topos de duas árvores A e B são respectivamente 12 m e 18 m. Do ponto A vê-se o ponto B sob um ângulo de 30º com relação ao plano horizontal(conforme a figura). A distância d entre os topos das árvores é:

Alinescabio May 2020 | 0 Respostas

O soro fisiológico é uma solução de cloreto de sódio a 0,9%. A quantidade, aproximada, em mol(s) de cloreto de sódio consumido por um paciente que recebeu 1.500 ml de soro fisiológico é?A resposta tem que dar 0,23

BlackShot May 2020 | 0 Respostas

(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:

Gislainempalhano May 2020 | 0 Respostas

O triplo de um número é igual a sua metade mais 10.qual é esse numero

VictoriaRuffo May 2020 | 0 Respostas

1- Resolva :A) Qual o número atômico de um átomo que possui 57 nêutrons e número de massa ( A) 101?B) Um átomo neutro possui número atômico(Z) igual a 19 e número de massa(A) igual a 39. Quantos nêutrons e quantos elétrons possui esse átomo? C) Um átomo X possui

Fraandinizjf May 2020 | 0 Respostas

No Grande Prêmio de Mônaco de Fórmula 1 deste ano , o vencedor percorreu as 78 voltas completas do circuito em quase 1,5 h . Cada volta tem aproximadamente 3.400 m . Podemos concluir que a) o módulo do vetor velocidade do carro esteve sempre acima de 100 km/h b)

Lista de comentários

Verified answer

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

Recomendar perguntas

Helpful Links

Helpful Social

Lista de comentários

Verified answer

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.​

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.​

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]​

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​

Recomendar perguntas

Helpful Links

Helpful Social

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.