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Lukyo
@Lukyo
January 2020
1
194
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(50 PONTOS) Mostre que dado um natural
qualquer, o resultado da divisão de
por
sempre deixa
como resto.
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Usaremos um caminho (bastante) diferente do usual
Temos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):
Tomando
, temos
Porém,
é um número inteiro, pois é a soma de
números inteiros (já que
e
, e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,
Portanto
Como
é inteiro, então, por definição,
, ou, equivalentemente,
Note que
, pois
. Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,
Existe um teorema da parte de congruências que diz que
se e somente se
deixa o mesmo resto que
na divisão por
Como o resto da divisão de
por
é
, pois
, então
deixa resto
na divisão por
.
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Usaremos um caminho (bastante) diferente do usualTemos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):
Tomando , temos
Porém, é um número inteiro, pois é a soma de números inteiros (já que e , e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,
Portanto
Como é inteiro, então, por definição, , ou, equivalentemente,
Note que , pois . Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,
Existe um teorema da parte de congruências que diz que se e somente se deixa o mesmo resto que na divisão por
Como o resto da divisão de por é , pois , então deixa resto na divisão por .