(50 PONTOS) Mostre que dado um natural qualquer, o resultado da divisão de por sempre deixa como.... Pergunta de ideia deLukyo

January 2020 1 227 Report

(50 PONTOS) Mostre que dado um natural $\mathsf{n\ \textgreater \ 0}$ qualquer, o resultado da divisão de

$\mathsf{\big[(9n-1)\cdot 10^{n+1}\big]}$ por $\mathsf{81}$

sempre deixa $\mathsf{71}$ como resto.
$~$

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Niiya

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Usaremos um caminho (bastante) diferente do usual

Temos a seguinte informação (veja a prova no PDF anexo):

$\boxed{\boxed{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot\beta^{k}=\dfrac{\beta^{k}}{(\beta-1)^{2}}\bigg[(\beta-1)k-\beta\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}~~\forall~n\ge1,~\beta\neq1}}$

Tomando $\beta=10$ , temos

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{10^{k}}{(10-1)^{2}}\bigg[(10-1)k-10\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{10^{k}}{81}\bigg[9k-10\bigg]\bigg|_{k=1}^{k=n+1}\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[10^{n+1}(9[n+1]-10)-10^{1}(9\cdot1-10)\bigg]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[10^{n+1}(9n+9-10)-10(-1)\bigg]\\\\\\\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=\dfrac{1}{81}\bigg[(9n-1)10^{n+1}+10\bigg]$

Porém, $\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}$ é um número inteiro, pois é a soma de $n$ números inteiros (já que $k\in[1,n]\cap\mathbb{Z}$ e $10^{k}\in\mathbb{Z}~\forall~k\in\mathbb{Z}$ , e o produto de números inteiros é um número inteiro). Logo,

$\displaystyle\dfrac{1}{81}\bigg[(9n-1)10^{n+1}+10}\bigg]=\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot10^{k}=s\in\mathbb{Z}$

Portanto

$(9n-1)10^{n+1}+10=81s$

Como $s$ é inteiro, então, por definição, $81|[(9n-1)10^{n+1}+10]$ , ou, equivalentemente, $(9n-1)10^{n+1}+10\equiv0\,(\mathtt{mod}~81)$

$(9n-1)10^{n+1}+10\equiv0\,(\mathtt{mod}~81)~\Leftrightarrow\\\\(9n-1)10^{n+1}\equiv-10\,(\mathtt{mod}~81)$

Note que $-10\equiv71\,(\mathtt{mod}~81)$ , pois $81|(-10-71)$ . Portanto, pela propriedade transitiva da congruência,

$(9n-1)10^{n+1}\equiv71\,(\mathtt{mod}~81)$

Existe um teorema da parte de congruências que diz que $a\equiv b\,(\mathtt{mod}~m)$ se e somente se $a$ deixa o mesmo resto que $b$ na divisão por $m$

Como o resto da divisão de $71$ por $81$ é $71$ , pois $71=81\cdot0+71$ , então $(9n-1)10^{n+1}$ deixa resto $71$ na divisão por $81~\forall~n\ge1$ .

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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