Por conveniência, portanto, podemos calcular e depois tirar a raiz quadrada do resultado obtido
Podemos fazer uma mudança de variáveis trivial , ficando com
(variáveis a serem integradas são variáveis mudas)
Sabemos, do cálculo, que , então
Temos agora uma integral dupla em todo . Podemos visualizar como uma "bola" de raio infinito e utilizar coordenadas polares
Fazendo , com e , temos que o jacobiano da transformação é . Além disso, é possível notar que .
Podemos calcular a integral em r, já que
Com isso, temos
Portanto:
___________________________________________
Utilizando conhecimentos de probabilidade
Dizemos que uma variável aleatória é contínua se existe uma função, chamada função de densidade de probabilidade, que especifica as probabilidades dessa variável pertencer a subconjuntos da reta
A função de densidade de probabilidade caracteriza unicamente a distribuição de uma variável aleatória.
A principal característica de uma função de densidade de probabilidade é que _____
Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição normal com parâmetros e (onde pode-se mostrar que esses são a média e variância, respectivamente) se sua função de densidade de probabilidade é dada por
Reconhecemos, portanto, que é o núcleo de uma distribuição normal com média zero e variância tal que
A densidade (núcleo com constante de integração) da distribuição normal com média zero e variância 1/2 é
Por definição de função de densidade de probabilidade, temos que
Portanto,
6 votes Thanks 12
Niiya
Obs: Poderíamos encontrar o valor dessa integral com conhecimentos sobre a distribuição normal
Niiya
Dragon, acho uma boa começar a aprender integrais se tiver curiosidade, mas acho que o ideal é ver o básico primeiramente. Minha resposta já possui integrais duplas e mudança de variáveis em integrais duplas, acho que isso pode te confundir
GFerraz
Ótima resposta, Niiya! E Dragon, existem livros que de fato iniciam a abordagem ao cálculo usando as integrais(que historicamente foram estudadas antes) e depois disso passam para o cálculo diferencial. De qualquer modo, é uma área muito interessante!
Lista de comentários
Verified answer
Queremos calcularComo , temos que .
Por conveniência, portanto, podemos calcular e depois tirar a raiz quadrada do resultado obtido
Podemos fazer uma mudança de variáveis trivial , ficando com
(variáveis a serem integradas são variáveis mudas)
Sabemos, do cálculo, que , então
Temos agora uma integral dupla em todo . Podemos visualizar como uma "bola" de raio infinito e utilizar coordenadas polares
Fazendo , com e , temos que o jacobiano da transformação é . Além disso, é possível notar que .
Podemos calcular a integral em r, já que
Com isso, temos
Portanto:
___________________________________________
Utilizando conhecimentos de probabilidade
Dizemos que uma variável aleatória é contínua se existe uma função, chamada função de densidade de probabilidade, que especifica as probabilidades dessa variável pertencer a subconjuntos da reta
A função de densidade de probabilidade caracteriza unicamente a distribuição de uma variável aleatória.
A principal característica de uma função de densidade de probabilidade é que
_____
Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição normal com parâmetros e (onde pode-se mostrar que esses são a média e variância, respectivamente) se sua função de densidade de probabilidade é dada por
Reconhecemos, portanto, que é o núcleo de uma distribuição normal com média zero e variância tal que
A densidade (núcleo com constante de integração) da distribuição normal com média zero e variância 1/2 é
Por definição de função de densidade de probabilidade, temos que
Portanto,