Considere a sequência numéricak natural, k >= 1.a) Obtenha a forma mais simplificada para a lei da s.... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 186 Report

Considere a sequência numérica

$\mathsf{a_k=-\,\dfrac{1}{2}\,cossec\,\dfrac{1}{2}\cdot cos\!\left(k-\dfrac{1}{2}\right)}$

k natural, k >= 1.

a) Obtenha a forma mais simplificada para a lei da sequência $\mathsf{b_k}$ definida por

$\mathsf{b_k=a_{k+1}-a_k}.$

para todo k.

b) Obtenha uma fórmula fechada para a soma

S(n) = sen 1 + sen 2 + sen 3 + ... + sen(n) = $\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^n sen\,k}.$

Os arcos estão em radianos.

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Niiya

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Seja $\mathsf{a_{k}}$ uma sequência. Se definirmos $\mathsf{\Delta(a_{k})=a_{k+1}-a_{k}}$ , então $\mathsf{\Delta(x\cdot a_{k})=x\cdot\Delta(a_{k})}$ para qualquer constante $\mathsf{x}$

a)

$b_{k}=\mathsf{\Delta(a_{k})=\Delta\bigg(-\dfrac{1}{2}cossec\big(\frac{1}{2}\big)cos\big(k-\frac{1}{2}\big)\bigg)}\\\\\\b_{k}=\mathsf{\Delta(a_{k})=-\dfrac{1}{2}cossec\big(\frac{1}{2})\cdot\Delta\big(cos(k-\frac{1}{2})\big)}\\\\\\b_{k}=\mathsf{\Delta(a_{k})=-\dfrac{1}{2}cossec(\frac{1}{2})\cdot\Delta(c_{k})}$

encontrando $\mathsf{\Delta(c_{k})}$ :

$\mathsf{\Delta(c_{k}):=c_{k+1}-c_{k}}\\\\\mathsf{\Delta(c_{k})=cos([k+1]-\frac{1}{2})-cos(k-\frac{1}{2})}\\\\\mathsf{\Delta(c_{k})=cos\big(k+\frac{1}{2}\big)-cos\big(k-\frac{1}{2}\big)}$

Usaremos a fórmula de prostaférese abaixo:

$\boxed{\boxed{\mathsf{cos(a)-cos(b)=-2sen\bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)sen\bigg(\dfrac{a-b}{2}\bigg)}}}$

$\mathsf{\Delta(c_{k})=-2sen\bigg(\dfrac{[k+\frac{1}{2}]+[k-\frac{1}{2}]}{2}\bigg)sen\bigg(\dfrac{[k+\frac{1}{2}]-[k-\frac{1}{2}]}{2}\bigg)}\\\\\\\mathsf{\Delta(c_{k})=-2sen(k)sen\big(\frac{1}{2}\big)}$

Então:

$\mathsf{b_{k}=-\frac{1}{2}cossec(\frac{1}{2})\Delta(c_{k})}\\\\\mathsf{b_{k}=(-\frac{1}{2})\cdot cossec(\frac{1}{2})\cdot(-2)\cdot sen(\frac{1}{2})\cdot sen(k)}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{b_{k}=sen(k)=\Delta(a_{k})}}}$

b)

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\sum_{k=1}^{n}b_{k}}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\sum_{k=1}^{n}\Delta(a_{k})}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\sum_{k=1}^{n}a_{k+1}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}}$

Note que $\mathsf{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k+1}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}a_{k}}$

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\sum\limits_{k=2}^{n+1}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\bigg(a_{n+1}+\sum_{k=2}^{n}a_{k}\bigg)}-\bigg(a_{1}+\sum_{k=2}^{n}a_{k}\bigg)\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=a_{n+1}-a_{1}}}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=-\dfrac{1}{2}cossec\bigg(\frac{1}{2}\bigg)cos\bigg(n+1-\frac{1}{2}\bigg)+\frac{1}{2}cossec\bigg(\frac{1}{2}\bigg)cos\bigg(1-\frac{1}{2}\bigg)}$

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\dfrac{1}{2}cossec\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)\bigg[-cos\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)+cos\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\bigg]}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\dfrac{1}{2}cossec\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)\bigg[cos\bigg(\frac{1}{2}\bigg)-cos\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)\bigg]}$

Aqui ainda podemos usar novamente a fórmula de prostaférese:

$\displaystyle\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=\dfrac{1}{2}cossec\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)\cdot(-2)\cdot sen\bigg(\dfrac{\frac{1}{2}+n+\frac{1}{2}}{2}\bigg)\cdot sen\bigg(\dfrac{\frac{1}{2}-n-\frac{1}{2}}{2}\bigg)}\\\\\\\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=-cossec\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)sen\bigg(\dfrac{n+1}{2}\bigg)sen\bigg(-\dfrac{n}{2}\bigg)}$

Como $\mathsf{-sen(\alpha)=sen(-\alpha)}$ , temos

$\boxed{\boxed{\displaystyle\mathsf{\sum_{k=1}^{n}sen(k)=cossec\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)sen\bigg(\dfrac{n+1}{2}\bigg)sen\bigg(\dfrac{n}{2}\bigg)}}}$

4 votes Thanks 4

superaks Ótima resposta Niiya!! :^)

Niiya Obrigado :)

Lukyo Muito bom! Valeu :)

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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