Considere uma progressão aritmética, cuja lei do termo geral é = a₁ + (n – 1) · r,com n natural, n ≥.... Pergunta de ideia deLukyo

December 2019 1 237 Report

Considere uma progressão aritmética, cuja lei do termo geral é

$\mathsf{a_n}$ = a₁ + (n – 1) · r,

com n natural, n ≥ 1.

Usando a lei telescópica para os somatórios
$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=p}^q}$ [f(k + 1) – f(k)] = f(q + 1) – f(p), com p ≤ q,

deduza a fórmula para a soma dos n primeiros termos da P.A.:
$\mathsf{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}.$

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Niiya

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Definindo $\Delta(a_{k})=a_{k+1}-a_{k}$ para uma sequência $a_{k}$ qualquer, temos que

$\Delta(k)=(k+1)-k=1~~\Rightarrow~~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n}\Delta(k)=(n+1)-1=n$
__________________________________

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}\big[a_{1}+(k-1)\cdot r\big]=\sum_{k=1}^{n}a_{1}+\sum_{k=1}^{n}(k-1)\cdot r\\\\\\=a_{1}\sum_{k=1}^{n}1+\sum_{k=1}^{n}(kr-r)=a_{1}\cdot n+\sum_{k=1}^{n}kr-\sum_{k=1}^{n}r\\\\\\=na_{1}-r\sum_{k=1}^{n}1+\sum_{k=1}^{n}kr=na_{1}-r\cdot n-r\sum_{k=1}^{n}k\\\\\\=n(a_{1}-r)-r\sum_{k=1}^{n}k$

Já vimos que diferenças de polinômios de grau $n$ são polinômios de grau $n-1$ , então, vamos encontrar $\Delta\big(k^{2}\big)$ :

$\Delta(k^{2})=(k+1)^{2}-k^{2}=(k+1+k)\cdot(k+1-k)=2k+1$

Isolando $k$ na expressão acima:

$\boxed{k=\frac{1}{2}\big[\Delta(k^{2})-1\big]}$

Retomando, temos

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=n(a_{1}-r)+r\sum_{k=1}^{n}k\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=n(a_{1}-r)+r\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\big[\Delta(k^{2})-1\big]\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=n(a_{1}-r)+\frac{r}{2}\bigg[\sum_{k=1}^{n}\Delta(k^{2})-\sum_{k=1}^{n}1\bigg]\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{2n(a_{1}-r)}{2}+\dfrac{r}{2}\bigg[\sum_{k=1}^{n}\Delta(k^{2})-n\bigg]$

Pela propriedade telescópica, temos que

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\Delta(a_{k})=a_{n+1}-a_{1}=(n+1)^{2}-1^{2},\,\,\,\mathsf{onde~a_{k}=k^{2}}$

Então:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{2n(a_{1}-r)}{2}+\dfrac{r}{2}\bigg[(n+1)^{2}-1^{2}-n\bigg]\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{2n(a_{1}-r)}{2}+\dfrac{r}{2}\bigg[n^{2}+2n+1-1-n\bigg]\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{2n(a_{1}-r)}{2}+\dfrac{r(n^{2}+n)}{2}\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{2n(a_{1}-r)+r(n^{2}+n)}{2}$

Colocando $n$ em evidência no numerador:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{n\cdot\big[2(a_{1}-r)+r(n+1)\big]}{2}\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{(2a_{1}-2r+nr+r)\cdot n}{2}\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{(a_{1}+nr-r+a_{1})\cdot n}{2}\\\\\\\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{(a_{1}+(n-1)\cdot r+a_{1})\cdot n}{2}$

Como $a_{1}+(n-1)\cdot r=a_{n}$ , concluímos que

$\boxed{\boxed{\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\dfrac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}}$

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Lukyo Obrigado! :)

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​

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