Dica: Faça análise da sequência das somas parciais. Ao encontrar um padrão, deduza uma possível fórmula fechada para a soma parcial e verifique se está correta (usando indução, por exemplo)
Já é possível perceber um padrão: nos denominadores, temos os fatoriais de 2, 3 e 4 (nos índices 0, 1 e 2, respectivamente), e nos numeradores, temos o denominador diminuído de 1 unidade
Portanto, devemos verificar se
Faremos isso por indução:
Mostrando validade para :
Hipótese de indução: Assuma validade para , isto é,
Mostrando que vale para :
onde
Voltando, temos
Portanto, está provado, por indução, que __________________________
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Vamos avaliar as três primeiras somas parciais:Já é possível perceber um padrão: nos denominadores, temos os fatoriais de 2, 3 e 4 (nos índices 0, 1 e 2, respectivamente), e nos numeradores, temos o denominador diminuído de 1 unidade
Portanto, devemos verificar se
Faremos isso por indução:
Mostrando validade para :
Hipótese de indução: Assuma validade para , isto é,
Mostrando que vale para :
onde
Voltando, temos
Portanto, está provado, por indução, que
__________________________
Finalmente, temos que
Por definição,