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Considere a figura anexa, exemplificada para um pentágono regular ().

Uma vez que se dividiu o polígono de lados em triângulos congruentes, é claro que a área do polígono será dada por:

onde representa a área de um dos triângulos.

Notamos agora que, uma vez que o polígono está inscrito na circunferência de raio , os triângulos terão, pelo menos, dois lados iguais, que correspondem aos raios da circunferência.

Dividimos agora o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, tal como exposto na figura. Assim, a área do triângulo será dada pelo dobro da área de um destes triângulos.

Seja agora a altura de um dos triângulos menores e a sua base, tal como indicado na figura. Por trigonometria, temos:

A área de um dos triângulos menores é, então:

Recordando que o seno do ângulo duplo é:

tomamos e obtemos:

Substituindo em , vem:

Portanto, obtemos a área de cada um dos triângulos:

Assim, a área do polígono é:

Notando ainda que o ângulo ao centro é dado por , concluímos por fim:

Note que o resultado faz sentido, pois tomando o limite quando , tem-se:

Fazendo agora a mudança de variável , tem-se que quando , pelo que:

Assim, conclui-se que:

que corresponde à área do círculo.