Seja An a área de um polígono com n lados iguais inscrito num círculo com raio r. Dividindo o polígono em n triângulo congruentes com ângulo central de 2π/n, mostre que
Considere a figura anexa, exemplificada para um pentágono regular ().
Uma vez que se dividiu o polígono de lados em triângulos congruentes, é claro que a área do polígono será dada por:
onde representa a área de um dos triângulos.
Notamos agora que, uma vez que o polígono está inscrito na circunferência de raio , os triângulos terão, pelo menos, dois lados iguais, que correspondem aos raios da circunferência.
Dividimos agora o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, tal como exposto na figura. Assim, a área do triângulo será dada pelo dobro da área de um destes triângulos.
Seja agora a altura de um dos triângulos menores e a sua base, tal como indicado na figura. Por trigonometria, temos:
A área de um dos triângulos menores é, então:
Recordando que o seno do ângulo duplo é:
tomamos e obtemos:
Substituindo em , vem:
Portanto, obtemos a área de cada um dos triângulos:
Assim, a área do polígono é:
Notando ainda que o ângulo ao centro é dado por , concluímos por fim:
Note que o resultado faz sentido, pois tomando o limite quando , tem-se:
Fazendo agora a mudança de variável , tem-se que quando , pelo que:
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Considere a figura anexa, exemplificada para um pentágono regular ().
Uma vez que se dividiu o polígono de lados em triângulos congruentes, é claro que a área do polígono será dada por:
onde representa a área de um dos triângulos.
Notamos agora que, uma vez que o polígono está inscrito na circunferência de raio , os triângulos terão, pelo menos, dois lados iguais, que correspondem aos raios da circunferência.
Dividimos agora o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, tal como exposto na figura. Assim, a área do triângulo será dada pelo dobro da área de um destes triângulos.
Seja agora a altura de um dos triângulos menores e a sua base, tal como indicado na figura. Por trigonometria, temos:
A área de um dos triângulos menores é, então:
Recordando que o seno do ângulo duplo é:
tomamos e obtemos:
Substituindo em , vem:
Portanto, obtemos a área de cada um dos triângulos:
Assim, a área do polígono é:
Notando ainda que o ângulo ao centro é dado por , concluímos por fim:
Note que o resultado faz sentido, pois tomando o limite quando , tem-se:
Fazendo agora a mudança de variável , tem-se que quando , pelo que:
Assim, conclui-se que:
que corresponde à área do círculo.