Obtenha uma forma fechada para o seguinte somatório, utilizando a propriedade telescópica: Sugestão.... Pergunta de ideia deLukyo

January 2020 1 340 Report

Obtenha uma forma fechada para o seguinte somatório, utilizando a propriedade telescópica:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)\cdot (k-1)!}$

Sugestão: Multiplique o numerador e o denominador do somando por $k\cdot k!,$ e decomponha em frações.

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Niiya

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Manipulando o somando:

$\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot k!\cdot k\cdot(k-1)!}\\\\\\\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)!\cdot k!}$

Sendo $a_{k}$ e $b_{k}=k!$ duas sequências, temos que

$\Delta(a_{k})=a_{k+1}-a_{k}\\\\\Delta(b_{k})=(k+1)!-k!=(k+1)\cdot k!-k!=k!\cdot(k+1-1)=k\cdot k!$

Então:

$\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{b_{k}\Delta(a_{k})-a_{k}\Delta(b_{k})}{b_{k+1}\cdot b_{k}}\\\\\\\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k!\cdot\Delta(a_{k})-a_{k}\cdot k\cdot k!}{(k+1)!\cdot k!}\\\\\\\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k!\cdot[\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}]}{(k+1)!\cdot k!}$

Queremos achar uma sequência $a_{k}$ de tal forma que tenhamos

$\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot k!}$

Para isso, devemos ter

$k!\cdot[\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}]=k\cdot k!\\\\\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}=k$

Note que uma sequência constante satisfaz essa igualdade:

$\Delta(a_{k})-k\cdot a_{k}=k\\\\(a_{k+1}-a_{k})-k\cdot a_{k}=k\\\\(a_{k}-a_{k})-k\cdot a_{k}=k\\\\-k\cdot a_{k}=k\\\\\boxed{\boxed{a_{k}=-1}}$

Logo, definindo

$c_{k}=\dfrac{a_{k}}{b_{k}}=-\dfrac{1}{k!}$

temos que

$\Delta(c_{k})=\Delta\bigg[\dfrac{a_{k}}{b_{k}}\bigg]=\dfrac{k\cdot k!}{(k+1)\cdot k!}$

que é a expressão do somando.
________________________

Portanto:

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta(c_{k})$

Como já vimos, $\sum\limits_{k=1}^{k}\Delta(c_{k})=c_{n+1}-c_{1}$ , logo

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=c_{n+1}-c_{1}\\\\\\\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=-\dfrac{1}{(n+1)!}-\bigg[-\dfrac{1}{1!}\bigg]\\\\\\\boxed{\boxed{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)\cdot(k-1)!}=1-\dfrac{1}{(n+1)!}}}$

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​

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