Quantos números divisíveis por 11 e de quatro algarismos distintos é possível formar com os dígitos .... Pergunta de ideia deLukyo

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Olá Lukyo!

Irei utilizar o critério:

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre os valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

Nesse caso essa diferença deve ser 11, 0 ou -11.
22 Pra cima não é possível, pois a soma de todos os algarismos apresentados não chega a esse valor.

As únicas operações possíveis para chegar à esses valores são:

(9+5)-(2+1) = 11
(2+1)-(9+5) = -11

O número 0 não pode ser obtido pois não há 2 algarismos apresentados diferentes de 9 que somados são maiores que 9.

Utilizando o 1º caso temos:

Casas pares: 9 e 5 Casas Ímpares: 2 e 1

Números: 9251,9152,5291,5192.

Caso 2:

Casas pares: 2 e 1 Casas Ímpares 9 e 5

Números: 2915,2519,1925,1529.

Portanto, existem 8 números (1529,1925,2519,2915,5192,5291,9152,9251) que são formados por algarismos distintos (1,2,5,9) e que são divisíveis por 11.

Dúvidas? Comente.

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Expertiee

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$\large\textsf{Vamos L\'a:}$

$\boxed{\large\textbf{Crit\'erio de Divisibilidade}}$

| Critério de divisibilidade por 11.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Um número é divisível por 11, se a soma alternada de seus algarismos for divisível por 11.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Vamos responder a pergunta por passos. (1 e 2)

| Passo 1:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Identificar as sequências que podemos formar com os números " 1,2,5,9 "
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
_____A
|1259
|1295
|1592
|1529
|1925
|1952

;;;;;;;;;;
_____B
|2159
|2195
|2591
|2519
|2915
|2951

;;;;;;;;;;
_____C
|5219
|5291
|5192
|5129
|5921
|5912

;;;;;;;;;;
_____D
|9125
|9152
|9251
|9215
|9512
|9521

| Passo 2:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Usar o critério de divisibilidade em todos os grupos criados. "A,B,C,D"
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

_____A
|1259 --> 1-2+5-9 = -5
|1295 --> 1-2+9-5 = 3
|1592 --> 1-5+9-2 = 3
|1529 --> 1-5+2-9 = -11 *
|1925 --> 1-9+2-5 = -11 *
|1952 --> 1-9+5-2 = -5

;;;;;;;;;;
_____B
|2159 --> 2-1+5-9 = -3
|2195 --> 2-1+9-5 = 5
|2591 --> 2-5+9-1 = 5
|2519 --> 2-5+1-9 = -11 *
|2915 --> 2-9+1-5 = -11 *
|2951 --> 2-9+5-1 = -3

;;;;;;;;;;
_____C
|5219 --> 5-2+1-9 = -5
|5291 --> 5-2+9-1 = 11 *
|5192 --> 5-1+9-2 = 11 *
|5129 --> 5-1+2-9 = -3
|5921 --> 5-9+2-1 = -3
|5912 --> 5-9+1-2 = -5

;;;;;;;;;;
_____D
|9125 --> 9-1+2-5 = 5
|9152 --> 9-1+5-2 = 11 *
|9251 --> 9-2+5-1 = 11 *
|9215 --> 9-2+1-5 = 3
|9512 --> 9-5+1-2 = 3
|9521 --> 9-5+2-1 = 5

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Foram detectados " * " , 8 números que são claramente divisíveis por 11, pelo critério de divisibilidade.

São eles: 1529,1925,2519,2915,5291,5192,9152,9251.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Resposta Final. Concluímos, que existem 8 números que podemos formar de quatro algarismos distintos: "1,2,5,9" que seja divisível por 11.

Os números são: 1529,1925,2519,2915,5291,5192,9152,9251.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Espero Ter Ajudado!!!
Bons Estudos ^^

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]​

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​

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