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Lukyo
@Lukyo
November 2019
1
159
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Usando apenas manipulações usuais com as identidades trigonométricas, calcule de forma analítica, isto é, sem recursos de Geometria, o valor exato de:
a) sen 18°
b) cos 36°
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Niiya
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Temos as seguintes propriedades de seno e cosseno:
Dessas, concluímos que
e que
_______________________________
Note que
Além disso,
, portanto estes são ângulos complementares. Daí, pela propriedade citada:
Podemos dividir os dois lados da igualdade por
, já que
, pois
é injetiva em
, logo
Com isso, ficamos com
Fazendo
, podemos enxergar essa igualdade como uma equação do segundo grau em
As soluções dessa equação são dadas por
Como
,
Porém,
, pois
. Logo
que é um número positivo, já que
____________________________________
Podemos encontrar o cosseno de 18º de modo fácil utilizando a identidade
Usando o resultado acima, tem-se que
3 votes
Thanks 6
Lukyo
Excelente resposta. Muito obrigado! :)
Niiya
Disponha :D
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Temos as seguintes propriedades de seno e cosseno:Dessas, concluímos que
e que
_______________________________
Note que
Além disso, , portanto estes são ângulos complementares. Daí, pela propriedade citada:
Podemos dividir os dois lados da igualdade por , já que , pois é injetiva em , logo
Com isso, ficamos com
Fazendo , podemos enxergar essa igualdade como uma equação do segundo grau em
As soluções dessa equação são dadas por
Como ,
Porém, , pois . Logo
que é um número positivo, já que
____________________________________
Podemos encontrar o cosseno de 18º de modo fácil utilizando a identidade
Usando o resultado acima, tem-se que