Usando apenas manipulações usuais com as identidades trigonométricas, calcule de forma analítica, is.... Pergunta de ideia deLukyo

November 2019 1 194 Report

Usando apenas manipulações usuais com as identidades trigonométricas, calcule de forma analítica, isto é, sem recursos de Geometria, o valor exato de:

a) sen 18°

b) cos 36°

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Niiya

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Temos as seguintes propriedades de seno e cosseno:

$\mathsf{\bullet\,\,sen\,(\alpha+\beta)=sen\,\alpha\,cos\,\beta+sen\,\beta\,cos\,\alpha}\\\\\mathsf{\bullet\,\,cos\,(\alpha+\beta)=cos\,\alpha\,cos\,\beta-sen\,\alpha\,sen\,\beta}$

Dessas, concluímos que

$\mathsf{\bullet\,\,sen\,(2x)=2\,sen\,x\,cos\,x}\\\\\mathsf{\bullet\,\,cos\,(2x)=cos^{2}x-sen^{2}x=[1-sen^{2}x]-sen^{2}x=1-2sen^{2}x}$

e que

$\mathsf{\bullet\,\,cos\,\alpha=sen\,(90\º-\alpha)}$
_______________________________

Note que $\mathsf{x=18\º\,\,\Leftrightarrow\,\,2x=36\º\,\,\Leftrightarrow\,\,3x=54\º}$

Além disso, $\mathsf{36\º+54\º=90\º}$ , portanto estes são ângulos complementares. Daí, pela propriedade citada:

$\mathsf{cos\,54\º=sen\,36\º}\\\\\mathsf{cos\,(2\cdot18\º+18\º)=sen\,(2\cdot18\º)}\\\\\mathsf{cos\,(2\cdot18\º)\,cos\,18\º-sen\,(2\cdot18\º)\,sen\,18\º=2\,sen\,18\º\,cos\,18\º}\\\\\mathsf{[1-2sen^{2}18\º]\,cos\,18\º-[2\,sen\,18\º\,cos\,18\º]\,sen\,18\º=2\,sen\,18\º\,cos\,18\º}\\\\\mathsf{cos\,18\º-4sen^{2}18\º\,cos\,18\º=2\,sen\,18\º\,cos\,18\º}$

Podemos dividir os dois lados da igualdade por $\mathsf{cos\,18\º}$ , já que $\mathsf{cos\,18\º\neq0}$ , pois $\mathsf{f(x)=cos\,x}$ é injetiva em $\mathsf{[0,90\º]}$ , logo $\mathsf{f(x)=0\,\,\Rightarrow\,\,x=90\º\neq18\º}$

Com isso, ficamos com

$\mathsf{1-4\,sen^{2}18\º=2\,sen\,18\º}\\\\\mathsf{-4\,sen^{2}18\,-2\,sen\,18\º+1=0}$

Fazendo $\mathsf{y=sen\,18\º\,\textgreater\,0}$ , podemos enxergar essa igualdade como uma equação do segundo grau em $\mathsf{y}$

$\mathsf{-4y^{2}-2y+1=0\,\,\Leftrightarrow\,\,4y^{2}+2y-1=0}$

As soluções dessa equação são dadas por

$\mathsf{y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times4\times(-1)}}{2\cdot4}=\dfrac{-2\pm\sqrt{20}}{8}}$

Como $\mathsf{\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5}}$ ,

$\mathsf{y=\dfrac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}=\begin{cases}\mathsf{y_{1}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}}\\\\\mathsf{y_{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}\end{cases}}$

Porém, $\mathsf{sen\,18\º\neq y_{1}}$ , pois $\mathsf{y_{1}\,\textless\,0}$ . Logo

$\boxed{\boxed{\mathsf{\mathsf{sen\,18\º=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}}}}$

que é um número positivo, já que $\mathsf{\sqrt{5}\,\textgreater\,\sqrt{1}=1}$
____________________________________

Podemos encontrar o cosseno de 18º de modo fácil utilizando a identidade

$\mathsf{cos\,(2x)=1-2sen^{2}x}\\\\\mathsf{cos\,(2\cdot18\º)=1-2sen^{2}18\º}\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-2sen^{2}18\º}$

Usando o resultado acima, tem-se que

$\mathsf{cos\,36\º=1-2\Bigg(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\Bigg)^{2}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{2(\sqrt{5}-1)^{2}}{4^{2}}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{5-2\sqrt{5}+1}{8}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{6-2\sqrt{5}}{8}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=1-\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}}\\\\\\\mathsf{cos\,36\º=\dfrac{4-(3-\sqrt{5})}{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{cos\,36\º=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}}}$

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Lukyo Excelente resposta. Muito obrigado! :)

Niiya Disponha :D

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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