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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Divisibilidade – Máximo Divisor Comum MDC – Relação de Bézout]Sejam a, b naturais. Mostre que existem x, y inteiros, tais que ax + by = mdc(a, b).─────Obs.: Gentileza detalhar e justificar corretamente cada afirmação feita no decorrer da sua demonstração, caso contrário, a sua resposta não será considerada. [tex]\,[/tex]​
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[Inequações trigonométricas – tangente]Resolva a inequação trigonométrica     tg(x) · tg(2x) ≥ 1com x ∈ [0, 2π[.​
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[Trigonometria: Identidades trigonométricas]Mostre que para todo n natural ≥ 1, vale     [tex]\dfrac{\mathrm{tg}(2^n x)}{\prod\limits_{k=1}^n[\sec(2^k x)+1]}=\mathrm{tg}(x)[/tex]sob a condição de existência     [tex]x\in\{t\in\mathbb{R}:~\cos(2^k t)\ne 0,\,\ne -1,~k\in\{0,\,1,\ldots,\, n\}\}.[/tex]​
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[Álgebra: Equações algébricas]Resolva a equação em ℝ:     [tex](x-3)^6-(3-x)^x=0.[/tex]─────Obs.: Obrigatório garantir justificadamente que não há outras soluções além das que forem encontradas.Dica: Transforme-a em uma equação na forma f(x)/g(x) = 1, e analise todos os casos possíveis nos quais esse quociente pode ser igual a 1. Mas antes, atenção para não efetuar divisão por zero.​
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[Álgebra: Equações exponenciais e logaritmos]Resolva a equação em ℝ:     [tex]\LARGE\begin{array}{c}2^{3^{5^x}}-3^{2^{5^x}}=0.\end{array}[/tex]​
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[Análise Combinatória e Probabilidade]Seja E um eneágono regular no plano e A o conjunto de todos os triângulos que podem ser formados pelos vértices de E.Calcule a probabilidade de, ao escolher-se aleatoriamente três triângulos em A, exatamente dois deles sejam isósceles.─────Obs.: Um eneágono regular é um polígono regular que possui 9 (nove) lados/vértices.​
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[Análise Combinatória e Probabilidade]Seja E um eneágono regular no plano e A o conjunto de todos os triângulos que podem ser formados pelos vértices de E.Calcule a probabilidade de, ao escolher-se aleatoriamente três triângulos distintos em A, exatamente dois deles sejam isósceles.─────Obs. 1: Um eneágono regular é um polígono regular que possui 9 (nove) lados/vértices.Obs. 2: Um triângulo equilátero é um caso particular de triangulo isósceles, logo os equiláteros também devem ser considerados na contagem dos isósceles.​
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[Cálculo: Sequências e séries]Seja [tex](a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}[/tex] a sequência numérica definida pela lei de recorrência     [tex]a_n=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{2},&\quad\mathrm{se~}n=1\\\\ \sqrt{2+a_{n-1}},&\quad\mathrm{se~}n>1\end{array}\right.[/tex]a) Mostre que a sequência [tex](a_n)[/tex] é convergente.b) Com base no resultado da alínea anterior, calcule o valor de     [tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}[/tex]​
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[Trigonometria: Identidades trigonométricas – tangente e secante]Mostre que     [tex]\sec(2x)+\mathrm{tg}(2x)=\dfrac{1+\mathrm{tg}(x)}{1-\mathrm{tg}(x)}[/tex]para todo [tex]x\in\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{(2k+1)\pi}{4}:~~k\in\mathbb{Z}\right\}.[/tex]​
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[Álgebra: Equações exponenciais e logaritmos]Resolva a equação em ℝ:     [tex]\Large\begin{array}{c}2^x\cdot 3^{x^2}=6.\end{array}[/tex]​
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[Aritmética: Congruência modular – Números primos – Teorema de Fermat – Teorema de Lagrange]Sejam a, n, p naturais, n ≥ 1, p primo e [tex]p\nmid a-1.[/tex]Mostre que se n é o menor natural tal que     [tex]a^n\equiv 1\pmod{p},[/tex]então [tex]n\mid p-1.[/tex]​
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[Trigonometria: Identidades trigonométricas]Mostre que     [tex]\dfrac{\mathrm{tg}(2x)}{\sec(2x)+1}=\mathrm{tg}(x)[/tex]para todo [tex]x\in\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{n\pi}{4}:~~n=2k+1~~\mathrm{ou}~~n=4k+2,~~k\in\mathbb{Z}\right\}.[/tex]​
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[Trigonometria: Identidades trigonométricas]Mostre que     [tex]\dfrac{2\sec(2x)}{\sec(2x)+1}=\sec^2(x)[/tex]para todo [tex]x\in\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{n\pi}{4}:~~n=2k+1~~\mathrm{ou}~~n=4k+2,~~k\in\mathbb{Z}\right\}.[/tex]​
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[Álgebra: Equações algébricas]Resolva a equação em ℝ:     [tex](x-3)^6-(3-x)^x=0.[/tex]​
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[Trigonometria: Equações trigonométricas]Resolva a equação trigonométrica em ℝ:     3 sen(x) + 4 cos(x) = cos(2x) · [4 cos(x) − 3 sen(x)].​
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[Trigonometria: Soma dos senos de uma P.A. (progressão aritmética)]Seja [tex](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] a sequência dada pela lei de formação     [tex]a_n=a_0+nr[/tex]com [tex]a_0\in\mathbb{R}[/tex] e [tex]r\in\mathbb{R}\setminus\{(2k)\pi:~k\in\mathbb{Z}\}.[/tex]Mostre que     [tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n \mathrm{sen}(a_0+kr)=\mathrm{cossec}\!\left(\dfrac{r}{2}\right)\!\mathrm{sen}\!\left(a_0+\dfrac{nr}{2}\right)\!\mathrm{sen}\!\Big(\dfrac{(n+1)r}{2}\Big)[/tex]para todo n ∈ ℕ.​
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[AFA 2019 – Questão 18]Seja a equação trigonométrica tg³ x − 2 tg² x − tg x + 2 = 0, com x ∈ ([0, 2π[ − {π/2, 3π/2}).Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto afirmar que são, exatamente,a) três.b) quatro.c) cinco.d) seis.​
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[Aritmética: Números naturais – Números primos]Mostre que [tex]8^n+47[/tex] é sempre um número composto, para todo n ∈ ℕ.─────Observação: Um número natural maior que 1 é dito composto se e somente se ele não é primo.​
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[Aritmética: Números naturais – Números primos – divisibilidade]Encontre uma condição suficiente para n natural, de modo que:a) [tex]7^n+17[/tex] sempre seja divisível por 5.b) [tex]7^n+17[/tex] sempre seja divisível por 11.c) Mostre que não existe natural n satisfaça simultaneamente as alíneas a e b.─────Obs.: Expresse sua resposta em função de n, utilizando notação euclidiana de quociente/resto ou congruência modular.​
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[Aritmética: Números naturais – Números primos]Mostre que [tex]9^{5n+2} + 7[/tex] é sempre um número composto, para todo n ∈ ℕ.─────Observação: Um número natural maior que 1 é dito composto se e somente se ele não é primo.​
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(Aritmética: Congruência modular – Números primos)Seja k ∈ ℕ*.a) Suponha que n = 2k + 1 é primo ímpar. É possível que k seja da forma 11q + 5? Justifique.b) Mostre que se 2k + 1 é primo ímpar, então para todo p primo, p > 2 e p ≠ 2k + 1, devemos ter k ≢ (p−1)/2 (mod p).​
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(Análise Combinatória: Combinação – Coeficiente Binomial)Veififique a identidade     [tex]\dfrac{1}{n-k}\dbinom{n-1}{k}=\dfrac{1}{n}\dbinom{n}{k}[/tex]dados n, k naturais, com [tex]0\le k\le n-1.[/tex]​
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(Análise Combinatória: Combinação – Coeficiente Binomial)Verifique a identidade     [tex]\dfrac{1}{k}\dbinom{n-1}{k-1}=\dfrac{1}{n}\dbinom{n}{k}[/tex]dados n, k naturais e [tex]1\le k\le n.[/tex]​
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(Aritmética: Números naturais – Números primos – Divisibilidade)Seja [tex]p\in\mathbb{N}[/tex] um número primo. Considere as sequência dos números naturais     [tex]a(n)=6(35n+29)+5[/tex]     [tex]b(n)=30(7n+1)+1[/tex]com [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex] Mostre quea) se [tex]p\mid a(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]b) se [tex]p\mid b(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]​
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