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(Aritmética: Números naturais – Números primos – divisibilidade – congruência modular – Pequeno Teorema de Fermat)a) Mostre que     [tex]18\mid (6n+5)^3-(6n-1)^3[/tex]para todo [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex]b) Indique para quais valores de [tex]n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,10\},[/tex] o número     [tex]\dfrac{(6n+5)^3-(6n-1)^3}{18}[/tex]é primo.─────Obs.: Não é necessário demonstrar a primalidade de cada primo encontrado na alínea b), basta explicar que tais números são primos pois só têm dois divisores naturais distintos.​
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(Aritmética: Números naturais – Princípio da Indução Finita – Números primos – divisibilidade – congruência modular – Pequeno Teorema de Fermat)Seja [tex]p[/tex] um número natural primo. Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que     [tex]n^p\equiv n~\pmod{p}[/tex]para todo [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex]─────Dica: Verifique que [tex]p[/tex] divide [tex]\dbinom{p}{k}[/tex] para todo [tex]k\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}.[/tex]​
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(Aritmética: Teoria dos Números – Números Naturais – Princípio da Indução Finita – Desigualdades)Sejam [tex]a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n[/tex] números reais positivos. Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que     [tex]\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n a_k \right)\cdot \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \right)\ge n^2[/tex]qualquer que seja [tex]n[/tex] inteiro positivo.​
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(Sequências numéricas e progressões)Considere a sequência numérica     [tex](a_n)=(8,\,35,\,80,\,143,\,224,\,323,\,\ldots)[/tex]com n ∈ ℕ*.a) Encontre o valor do sétimo termo da sequência.b) Escreva uma fórmula para o termo geral da sequência aₙ, em função de n.​
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(Aritmética: Sistema de numeração na base 2 – base binária – um critério de divisibilidade por 5)Seja [tex]n=a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1\,a_0[/tex] um número natural não-nulo escrito na base 2, formado por k+1 dígitos (também chamados bits), com k ≥ 1,sendo [tex]a_k=1[/tex] e [tex]a_i\in\{0,\,1\},[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]Considere [tex]m=(a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1)+3\cdot a_0.[/tex] Mostre quea) Se [tex]m[/tex] é múltiplo de 5, então [tex]n[/tex] é múltiplo de 5.b) Se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}5),[/tex] então [tex]n\equiv 2r~~\mathrm{(mod~}5).[/tex]─────Dica: Reescreva n na forma 2q + r.Obs.: No enunciado desta tarefa, considere os naturais 2, 3 e 5 como escritos no sistema de numeração decimal (base 10).​
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(Aritmética: Sistema de numeração na base 2 – base binária – outro critério de divisibilidade por 5)Seja [tex]n=a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1\,a_0[/tex] um número natural não-nulo escrito na base 2, formado por k+1 dígitos (também chamados bits), com k ≥ 2,sendo [tex]a_k=1[/tex] e [tex]a_i\in\{0,\,1\},[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]Considere [tex]m=(a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_2)-(a_1\,a_0).[/tex] Mostre quea) Se [tex]m[/tex] é múltiplo de 5, então [tex]n[/tex] é múltiplo de 5.b) Se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}5),[/tex] então [tex]n\equiv 4r\equiv - r~~\mathrm{(mod~}5).[/tex]─────Dica: Reescreva n na forma 4q + r.Obs.: No enunciado desta tarefa, considere os naturais 2, 4 e 5 como escritos no sistema de numeração decimal (base 10).​​
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(Aritmética: sistema linear de congruências modulares)Seja N um numero natural que deixa resto 4 na divisão por 7, e que deixa resto 7 na divisão por 11.Calcule o resto da divisão de N por 77.─────Obs.: O uso de sistema linear de congruências e/ou Teorema Chinês dos Restos NÃO É obrigatório para resolver esta tarefa, é apenas uma das diversas formas de resolução. Escolha livremente aquela que julgar mais conveniente.​
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(Sequências numéricas e progressões)Considere a sequência numérica     [tex](a_n)=(8,\,35,\,80,\,143,\,224,\,323,\,\ldots)[/tex]com n ∈ ℕ*.Sabendo que o termo geral de aₙ é dado por     aₙ = (3n − 1)(3n + 1),escreva uma fórmula geral para o produto os n primeiros termos da sequência aₙ, em função de n.Obs.: Continuação do conteúdo abordado na tarefa https://brainly.com.br/tarefa/53212375 . ​
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(Aritmética: Sistema de numeração decimal – base 10 – resolução de equações diofantinas lineares)Sejam x, y os menores inteiros positivos tais que     [tex](10^9)x-53y=1[/tex]Calcule os valores de x e y.─────Obs.: Não é necessário utilizar o algoritmo de Euclides, no entanto, você está livre para escolher o método que julgar mais adequado.​
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(Aritmética: Sistema de numeração na base 2 – base binária – um critério de divisibilidade por 3 e por 5)Seja [tex]n=a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1\,a_0[/tex] um número natural não-nulo escrito na base 2, formado por k+1 algarismos, com k ≥ 4,sendo [tex]a_k=1[/tex] e [tex]a_i\in\{0,\,1\},[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]Considere [tex]m=(a_k\,a_{k-1}\, \ldots\,a_4)+(a_3\,a_2\,a_1\,a_0).[/tex] Mostre quea) Se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}3),[/tex] então [tex]n\equiv r~~\mathrm{(mod~}3).[/tex]b) Se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}5),[/tex] então [tex]n\equiv r~~\mathrm{(mod~}5).[/tex]c) Utilizando este algotimo, calcule o resto da divisão de 1101001101001₂ por 3 e por 5.─────Dica: Reescreva n na forma 16q + r.Obs.: O ₂ subscrito após o número indica que este está escrito na base 2.​
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(Aritmética: Sistema de numeração na base 2 – base binária – um critério de divisibilidade por 7)Seja [tex]n=a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1\,a_0[/tex] um número natural não-nulo escrito na base 2, formado por k+1 algarismos, com k ≥ 3,sendo [tex]a_k=1[/tex] e [tex]a_i\in\{0,\,1\},[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]Considere [tex]m=(a_k\,a_{k-1}\, \ldots\,a_3)+(a_2\,a_1\,a_0).[/tex]a) Mostre que se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}7),[/tex] então [tex]n\equiv r~~\mathrm{(mod~}7).[/tex]b) Utilizando este algotimo, calcule o resto da divisão de 1101001101001₂ por 7.─────Dica: Reescreva n na forma 8q + r.Obs.: O ₂ subscrito após o número indica que este está escrito na base 2.​​
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(Aritmética: Um critério de divisibilidade por 37 – sistema de numeração decimal – base 10)Seja [tex]n=d_k\,d_{k-1}\,\ldots\,d_2\,d_1\,d_0[/tex] um número natural não-nulo formado por k+1 algarismos, com k ≥ 3,sendo [tex]d_k\ne 0[/tex] e [tex]d_i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,9\}[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]Considere [tex]m=(d_k\,d_{k-1}\,\ldots\,d_3)+(d_2\,d_1\,d_0).[/tex]a) Mostre que se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}37),[/tex] então [tex]n\equiv r~~\mathrm{(mod~}37),[/tex]b) Utilizando este algoritmo, calcule o resto da divisão de 237223478 por 37.─────Dica: Reescreva n na forma 1000q + r.​
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(Aritmética: Números primos – primos de Mersenne)Seja p um número natural, p > 1. Mostre que    se [tex]2^p-1[/tex] é primo, então p é primo.​
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(Aritmética: Números primos – máximo divisor comum)Sejam n, p naturais. Mostre que     se p é primo, então mdc(n, p − n) = 1.para todo [tex]n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}.[/tex]​
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(Aritmética: Números primos – congruência modular – aritmética dos restos)Sejam p₁, p₂ números naturais primos. Mostre que existe [tex]r\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}[/tex] tal que[tex]p_2\not\equiv r\pmod{p_1}[/tex]para todo p₂ < p₁.─────O símbolo ≢ significa "não é congruente a".
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(Aritmética – Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita)Seja [tex]A=\{n\in\mathbb{N}:~7\,|\,2^{3n-1}+3^{6n-5}\}.[/tex]Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]A=\mathbb{N}.[/tex]​
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(Aritmética – Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita)Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que     [tex]1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n=2+(n-1)\cdot 2^{n+1}[/tex]para todo [tex]n\in\mathbb{N}^*.[/tex]​
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(Aritmética: Números primos – divisibilidade)Seja [tex]p[/tex] um número natural. Mostre que     se [tex]3^p-2^p[/tex] é primo, então [tex]p[/tex] é primo.​
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(Aritmética: Números primos – divisibilidade)Sejam [tex]n,\,p[/tex] números naturais. Mostre que     se [tex](n+1)^p-n^p[/tex] é primo, então [tex]p[/tex] é primo.​─────Dica: Use a técnica de redução ao absurdo, ou demonstre a implicação contrapositiva.​
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(Aritmética – Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita)Sejam [tex]x,\,y\in\mathbb{R}.[/tex] Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que     [tex]\begin{array}{l} x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +xy^{n-2}+y^{n-1})\\\\ \displaystyle =(x-y)\sum_{k=1}^n x^{n-k}y^{k-1}\end{array}[/tex]para todo [tex]n\in\mathbb{N}^*.[/tex]
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(Aritmética: Sistemas lineares de congruências modulares)Resolva o sistema linear de congruências modulares utilizando o Teorema Chinês dos Restos:     [tex]\left\{\begin{array}{l} x\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}2)\\ x\equiv 2\quad(\mathrm{mod~}3)\\ x\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}5)\\ x\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}\right.[/tex]com x ∈ ℕ. Indiquea) a solução geral do sistema.b) a menor solução inteira positiva do sistema.​
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(Aritmética: Outro critério de divisibilidade por 47)Seja [tex]n=100a+b[/tex] um número natural, com a, b ∈ ℕ.a) Mostre que se [tex]a+8b\equiv r~~\mathrm{(mod~}47),[/tex] então [tex]100a+b\equiv 6r~~\mathrm{(mod~}47).[/tex]b) A alínea anterior fornece um algoritmo para calcular o resto da divisão de qualquer número natural por 47. Utilizando este algoritmo, calcule resto da divisão de 2750422 por 47.Obs.: Continuação do conteúdo abordado na tarefahttps://brainly.com.br/tarefa/53094048​
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(Aritmética: Um critério de divisibilidade por 17)Seja n = 100a + b um número natural, com a, b ∈ ℕ.a) Mostre que     se [tex]a+8b\equiv r~~\mathrm{(mod~}17),[/tex] então [tex]100a+b\equiv (- 2)r~~\mathrm{(mod~}17).[/tex]b) A alínea anterior fornece um algoritmo para calcular o resto da divisão de qualquer número natural por 17.Sem efetuar a soma, calcule o resto da divisão de     5466919 + 5466920por 17.​
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(Aritmética: Algoritmo de Euclides – equações diofantinas lineares a duas variáveis)Encontre os menores valores inteiros positivos para x e y que satisfazem a equação     65x − 47y = 1.Dica: Use o algoritmo de Euclides.​
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