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Calcule o somatório 3^(2^k) · [3^(2^k) – 1]e expresse a fórmula fechada em função de n.
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Calcule o somatórioe expresse a fórmula fechada em função de n.=====Dica: Decomponha o somando em frações.
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Mostre matematicamente que 5 divide 4^(2n – 1) + 1, para todo n natural, n ≥ 1.
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Propriedades dos somatórios:Sabendo que k · 10^k = (1/81) · [(9n – 1) · 10^(n + 1) + 10],obtenha uma fórmula fechada para k · 10^(– k).
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Desafio Teoria dos Números. Congruência.Mostre que(pn − 1) · (p + 1)ⁿ⁺¹ + p + 1 ≡ 0 (mod p²)para quaisquer p, n naturais, p ≥ 1, n ≥ 1.
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Considere uma funçãof: D ⊂ N² → Nna qual para cada par (x, y) ∈ D, f(x, y) fornece o valor do resto da divisão de x por y.a) Qual o maior domínio D possível para esta função?b) Escreva uma lei de formação para f.f(x, y) = ____________
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Considere uma funçãof: N* → Nonde para cada n ∈ N*, f(n) fornece quantos dígitos são necessários para se escrever todos os naturais em sequência de 1 até n.Escreva uma lei de formação para f na forma fechada.f(n) = __________=====Favor encontrar a expressão fechada para todos os somatórios envolvidos.
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Sendo p primo, p > 2, mostre quePara todo a, b ∈ ℕ*,Se p = a + b, então mdc(a, b) = 1.
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Propriedades dos somatórios.Calcule o somatório k · C(n, k)ondeC(n, k) = n!/[k! · (n − k)!]é o coeficiente binomial.
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Teoria dos Números. Divisibilidade.Prove quePara todo a, d ∈ ℕ*,se d | a, então d ≤ a.
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Teoria dos Números. Divisibilidade.Prove quePara todo a, b ∈ ℕ*,max(a, b) ≤ mmc(a, b) ≤ a · b.=====Observações:• mmc(a, b) é o mínimo múltiplo comum entre a e b.• A função max(a, b) retorna o maior dos valores a ou b, isto émax(a, b) =
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Mostre queSe − 1 ≤ x ≤ 1, então − 1/2 ≤ x√(1 − x²) ≤ 1/2.
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Mostre que a série 1/[k! + (k + 1)!]converge a 1.=====Dica: Faça análise da sequência das somas parciais. Ao encontrar um padrão, deduza uma possível fórmula fechada para a soma parcial e verifique se está correta (usando indução, por exemplo)
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Calcule o somatório de[2^(k + 1)] / [3^(2^k) + 1]com k de 0 a ne expresse a fórmula fechada em função de n=====Dica: Faça análise da sequência das somas parciais. Ao encontrar um padrão, deduza uma possível fórmula e verifique se está correta (usando indução, por exemplo).
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Mostre que a funçãof(x) = cos(2x) + sen(√3 x)não é periódica.=====Favor responder passo a passo, de forma detalhada, clara e completa.
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Considere uma função f: D = ℕ × ℕ* → ℕ onde a cada par (x, y) ∈ D, f associa o valor do resto da divisão de x por y. Escreva uma lei de formação recursiva para f. f(x, y) = ____________
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Considere uma função f: D = ℕ × ℕ* → ℕ onde a cada par (x, y) ∈ D, f associa o valor do quociente da divisão inteira de x por y. Escreva uma lei de formação recursiva para f. f(x, y) = ____________
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Prove a seguinte identidade trigonométrica:(1 + sen x)/(1 − sen x) = (sec x + tg x)²—————Instruções: Para responder essa tarefa corretamente, você deve partir de um dos membros da igualdade e fazer manipulações algébricas e/ou trigonométricas até chegar ao outro membro.Respostas que já partem da igualdade dada não serão satisfatórias.Favor detalhar e explicar bem o passo a passo envolvido na resolução.
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Cálculo: Integração por partes.Calcule a integral indefinida:∫ cos(ln x) dx=====Favor não usar números complexos.
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Cálculo integral: Funções trigonométricas.Calcule a integral indefinida:∫ cos(x)/cos(2x) dx
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1) Calcule o somatório∑ sen[2^(− k)] · cos[3 · 2^(− k)]k de 0 a ne expresse a sua fórmula fechada em termos de n.2) Mostre que a série∑ sen[2^(− k)] · cos[3 · 2^(− k)]k de 0 a ∞converge, e determine o seu valor.=====Obs.: Todos os arcos envolvidos estão em radianos.
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Considere o conjuntoD = {θ ∈ ℝ: θ ≠ kπ/2, para qualquer k inteiro}.Definamos uma função q: D → ℕ, cuja lei éq(θ) = ⌊2θ/π⌋ − 4 · ⌊θ/(2π)⌋ + 1.a) Verifique que a função q associa a cada ângulo θ ∈ D, o valor do quadrante ao qual θ pertence.b) Indique qual é o conjunto imagem da função q, enumerando seus elementos.=====Obs.: A notação ⌊x⌋ (leia-se "piso de x") indica o valor da parte inteira do número x.
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Encontre uma fórmula do termo geral para a sequência (0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ...) em termos de uma única sentença. ————— Obs.: Na sequência dada, • os termos de ordem ímpar são nulos, • os termos de ordem par formam a sequência dos naturais 1, 2, 3, ...
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Encontre uma fórmula do termo geral para a sequência (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ...) em termos de uma única sentença. ————— Obs.: A sequência dada é formada pela repetição sequencial do bloco "0, 0, 1".
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