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Considere a função, cuja lei é definida recursivamente a seguir:f(x) = 0, se 0 <= x < 1; = f(x - 1) + 1, se x >= 1.Faça o gráfico dessa função para 0 <= x <= 10.
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Obtenha uma fórmula fechada para a seguinte soma:S(n) = 10 + 200 + 3000 + ... + n · 10^n =
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Considere a sequência numéricak natural, k >= 1.a) Obtenha a forma mais simplificada para a lei da sequência definida porpara todo k.b) Obtenha uma fórmula fechada para a somaS(n) = sen 1 + sen 2 + sen 3 + ... + sen(n) = Os arcos estão em radianos.
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Mostre que a soma dos n primeiros cubosS(n) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = pode ser expressa de forma fechada comoS(n) = [n(n + 1)/2]^2.Obs.: Não usar indução.
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(PUC-SP) No sistema representado na figura, as polias e os fios são ideais, o peso de A é 20 N e o peso de B é 10 N. O coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é igual a 0,2. Para que o sistema fique em equilíbrio, o peso de C deve ficar no intervalo:a) 3 N a 5 N.b) 6 N a 8 N.c) 8,5 N a 11 N.d) 12 N a 28 N.e) 30 N a 45 N.
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Dois automóveis de massas diferentes, mas com a mesma quantidade de movimento, atingem um muro. Qual dos dois provavelmente ocasionará o maior dano?
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(PUC-SP) No sistema representado na figura, as polias e os fios são ideais, o peso de A é 20 N e o peso de B é 10 N. O coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é igual a 0,2. Para que o sistema fique em equilíbrio, o peso de C deve ficar no intervalo:a) 3 N a 5 N.b) 6 N a 8 N.c) 8,5 N a 11 N.d) 12 N a 28 N.e) 30 N a 45 N.
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(FEI-SP) Uma partícula de massa m = 10 kg e velocidade constante |v1| = 20 m/s choca-se com o anteparo no ponto A, passando a ter velocidade constante |v2| = 20 m/s. Sendo alfa = pi/6 rad e sabendo-se que o contato da partícula com o anteparo durou 10 s, qual a força média F que a partícula aplicou ao anteparo?
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(Mackenzie-SP) Observe o esquema ao lado. Suponha que a esfera A seja abandonada na posição em que = 90°. São dados: massa de A = 4,0 kg; massa de B = 2,0 kg; coeficiente de atrito entre B e o plano horizontal = 0,20; coeficiente de restituição do choque entre A e B = 0,50.Após a colisão, o bloco B percorre no plano horizontal uma distância igual a:a) 3 mb) 6 mc) 9 md) 5 me) 4 m
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Na figura a representamos um feixe de partículas que colidem elasticamente com a superfície S. Cada partícula tem massa m = 0,010 kg e velocidade de módulo v = 200 m/s. Calcule a força média exercida sobre a superfície, sabendo que as partículas incidem na superfície à razão de 300 partículas por segundo.
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Teoria dos números.Mostre que se p é primo, p diferente de 2 e p diferente de 5, então existe um natural n tal quep divide 9 · 10^k.=====Em outras palavras, queremos mostrar que para todo p primo diferente de 2 e diferente de 5, existe um natural formado apenas pelo algarismo 9, que é divisível por p.
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(Unicamp–SP) Uma hidrelétrica gera 5,0 * 10^9 W de potência elétrica utilizando-se de uma queda-d'água de 100 m. Suponha que o gerador aproveita 100% da energia da queda-d'água e que a represa coleta 20% de toda a chuva que cai em uma região de 400000 km^2. Considere que 1 ano tem 32 * 10^6 segundos; g = 10 m/s^2 e a densidade da água = 10^3 kg/m^3.a) Qual a vazão da água (m^3/s) necessária para fornecer 5,0 * 10^9 W?b) Quantos mm de chuva devem cair por ano nessa região para manter a hidrelétrica operando nos 5,0 * 10^9 W?
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(FCMSCSP) Os três aparelhos a seguir estão situados no interior da mesma sala.As pressões dos gases contidos em M e N são respectivamente iguais, em cmHg, a:a) 20 e 20b) 20 e 50c) 90 e 50d) 90 e 20e) 50 e 90
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(UFMG) Observe a figura.Nessa figura, dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de 30° entre eles. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de 70° com a sua superfície. Esse raio, depois de se refletir nos dois espelhos, cruza o raio incidente formando um ângulo dea) 90°b) 100°c) 110°d) 120°e) 140°
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O objeto BB' dista igualmente 2x de um espelho plano P e de um espelho côncavo E de raio igual a 4x. O sistema é esquematizado na figura seguinte:A que distância de C se formará a primeira imagem resultante de duas reflexões sucessivas, a primeira em P e a segunda em E?
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1) Podemos alterar a quantidade de movimento de uma partícula sem alterar sua energia cinética?2) Podemos alterar a energia cinética de uma partícula sem alterar sua quantidade de movimento?Justifique a sua resposta, explicando com detalhes o seu raciocínio.
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Sabendo que k · log(k + 1) = S,escreva uma expressão para o somatório log[(k + 1)!]em função de S.
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Fatore (a – b) · c³ – (a – c) · b³ – (b – c) · a³
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Fatore tg x – tg y – tg(x – y), escrevendo como um produto de apenas funções trigonométricas simples.
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Sabendo que k! = S,e que(k + 1)! – k! = k · k!,escreva uma expressão para o somatório k² · k!em função de S.
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Calcule o limite:lim (tg x – tg a)/tg(x – a)x → asem usar as Regras de L'Hospital.
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Considere uma progressão aritmética, cuja lei do termo geral é = a₁ + (n – 1) · r,com n natural, n ≥ 1.Usando a lei telescópica para os somatórios [f(k + 1) – f(k)] = f(q + 1) – f(p), com p ≤ q,deduza a fórmula para a soma dos n primeiros termos da P.A.:
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Use indução sobre os naturais para mostrar que|– 1² + 2² – 3² + ... + (– 1)^n · n²| = 1 + 2 + ... + nou seja,(o módulo da soma alternada dos quadrados dos n primeiros naturais é igual à soma dos n primeiros naturais).
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Calcule a exponenciale expresse a fórmula fechada em termos de n.
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